§ 3. Степень с натуральным показателем

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись нужна, чтобы кратко обозначать повторное умножение.

Основание степени — число, которое возводят в степень. В записи 3⁴ основание равно 3, то есть именно тройка повторяется в произведении: 3 · 3 · 3 · 3. Если основание изменить, изменится и каждый множитель. Поэтому при чтении и вычислении степени сначала полезно определить её основание.

Показатель степени — натуральное число над основанием; он показывает количество множителей основания. Например, показатель 4 в записи 3⁴ означает, что троек будет четыре, а не то, что нужно умножить 3 на 4. Показатель помогает раскрыть степень в виде произведения и отличить её от обычного умножения.

Возведение в степень — действие, при котором находят произведение одинаковых множителей. Запись aⁿ читают «а в степени n» или «а в n-й степени», а её значение вычисляют последовательным умножением. Например, 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Так мы получаем значение степени, которое может отличаться от её основания и показателя.

Как это устроено

Произведение одинаковых множителей заменяют степенью, чтобы не переписывать одно и то же число много раз. Сначала находят повторяющийся множитель — это основание, затем считают, сколько раз он встречается, — это показатель. Например, в произведении 6 · 6 · 6 · 6 · 6 пять множителей 6, поэтому его записывают как 6⁵. Показатель равен числу множителей, потому что именно столько раз основание участвует в умножении.

В выражении со степенями учитывают порядок действий: сначала вычисляют степени, затем выполняют умножение и деление, после этого — сложение и вычитание. Степень относится к своему основанию и обозначает уже выполненное повторное умножение. Поэтому в выражении 2 · 3² + 1 сначала находят 3², иначе можно ошибочно умножить или сложить числа не в том порядке. Такой порядок согласуется с обычными правилами вычислений и помогает получить единственный результат.

Знак результата при отрицательном основании зависит от количества отрицательных множителей. Если их чётное число, множители можно разбить на пары, а произведение каждой пары отрицательных чисел положительно. Поэтому (−2)⁴ = 16. Если показатель нечётный, после составления пар останется ещё один отрицательный множитель, и результат будет отрицательным: (−2)³ = −8.

У положительного и отрицательного чисел с одинаковым модулем отличаются только знаки множителей, поэтому при чётном показателе их степени равны, а при нечётном — противоположны по знаку. Скобки показывают, входит ли минус в основание: в (−a)ⁿ возводят в степень всё отрицательное число. В записи −aⁿ сначала возводят в степень только a, а затем ставят минус перед результатом. Так, (−3)² = 9, а −3² = −9; скобки здесь меняют смысл записи.

При натуральном n число 0ⁿ равно нулю, потому что произведение с нулевым множителем всегда равно нулю. Число 1ⁿ равно единице, потому что умножение единиц не меняет результат. Поэтому можно сразу записать, например, 0⁵ = 0 и 1⁵ = 1, не выполняя повторное умножение. Эти правила действуют при любом натуральном показателе.

Степень с натуральным показателем: значение и знак

Сначала найдите строку, в которой указаны основание и чётность показателя, а затем проверьте пример. Столбец раскрытия показывает, какие множители нужно перемножить, а столбец со знаком помогает проверить знак ответа. Для отрицательного основания не забывайте убедиться, что минус заключён в скобки.

Разбор задач

1. Запишите произведение 5 · 5 · 5 · 5 в виде степени и укажите её основание и показатель.

1. Находим одинаковый множитель: во всех четырёх местах стоит число 5. Значит, оно будет основанием искомой степени.
2. Считаем множители: пятёрка встречается четыре раза. Поэтому показателем будет число 4.
3. Записываем произведение короче: 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴. При необходимости значение можно проверить: 5⁴ = 625.

Ответ: 5⁴; основание — 5, показатель — 4. Количество пятёрок, а не полученное значение произведения, определяет показатель степени.

2. Вычислите (−3)⁴ и −3⁴. Объясните, почему результаты различаются.

1. В выражении (−3)⁴ основание — всё число −3, потому что оно заключено в скобки. Раскрываем степень: (−3) · (−3) · (−3) · (−3).
2. Вычисляем произведение: (−3) · (−3) = 9, ещё одна пара равна 9, а 9 · 9 = 81. Значит, (−3)⁴ = 81.
3. В записи −3⁴ скобок нет, поэтому сначала вычисляем 3⁴ = 81, а затем ставим перед результатом минус. Получаем −3⁴ = −81.

Ответ: (−3)⁴ = 81, −3⁴ = −81. Различие возникает потому, что в первом случае основание отрицательное, а во втором минус стоит перед степенью положительного числа.

3. Вычислите значение выражения 2 · (−2)³ + 3² и запишите порядок действий.

1. Сначала вычисляем степени. У числа −2 показатель 3 нечётный, поэтому (−2)³ = −8; также 3² = 9.
2. Подставляем значения: 2 · (−8) + 9. Теперь выполняем умножение раньше сложения: 2 · (−8) = −16.
3. Вычитаем результат умножения из девяти, что равносильно сложению −16 и 9: −16 + 9 = −7. Так мы соблюдаем порядок действий и сохраняем знак отрицательного произведения.

Ответ: −7. Порядок действий: вычислить обе степени, выполнить умножение, затем сложение.

Типичные ошибки

Ошибка — считать показатель значением степени: например, утверждать, что 5³ = 3. Так происходит, когда верхнее число замечают, но не раскрывают запись произведения. Показатель сообщает число множителей, а значение находят умножением: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Для проверки раскройте степень и пересчитайте множители.

В записи −aⁿ иногда возводят в степень всё отрицательное число. Причина — минус зрительно кажется частью основания, хотя без скобок степень относится только к a. Например, −2³ = −8, а не 8. Проверьте, стоят ли скобки вокруг отрицательного числа: именно они показывают, что основание целиком отрицательное.

Ещё одна ошибка — считать, что отрицательное основание всегда даёт отрицательный результат. Знак зависит от чётности показателя, поскольку отрицательные множители образуют пары с положительным произведением. Например, (−3)² = 9, а (−3)³ = −27. Для самопроверки посчитайте, останется ли после объединения множителей в пары один отрицательный множитель.

Нельзя заменять повторное умножение сложением или умножать основание на показатель: например, вычислять 4³ как 4 · 3. Это делают, когда путают степень с обычным произведением чисел. В действительности 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Чтобы проверить себя, запишите столько оснований, сколько показывает показатель, и соедините их знаками умножения.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь умножать целые числа, в том числе числа с разными знаками. Также важно различать умножение и сложение: 3 · 3 · 3 — это не то же самое, что 3 + 3 + 3. Эти навыки помогают раскрывать степень и правильно определять знак результата.

Степени пригодятся при изучении одночленов и многочленов, записи больших и малых чисел, а также свойств действий со степенями. Короткая запись повторного умножения делает вычисления и выражения компактнее. Позднее правила для степеней помогут преобразовывать выражения быстрее и аккуратнее.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n множителей, равных a.
• a — основание степени, n — её показатель.
• Показатель натуральной степени показывает число одинаковых множителей.
• Отрицательное основание в чётной степени даёт положительный результат.
• Отрицательное основание в нечётной степени даёт отрицательный результат.
• В записи −aⁿ степень вычисляют раньше знака минус.
• При натуральном n числа 0ⁿ и 1ⁿ равны соответственно 0 и 1.