"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает компактно записывать и вычислять произведения, а дальше встречается в формулах, выражениях и записи больших чисел. В записи aⁿ число a называют основанием, а натуральное число n — показателем: оно показывает, сколько раз основание умножают само на себя. Чтобы правильно определить значение степени, нужно следить за скобками и учитывать знак основания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей, записанное кратко в виде aⁿ. Например, вместо длинной записи 4 · 4 · 4 можно написать 4³. Такая запись удобна, когда один и тот же множитель повторяется много раз.
Основание степени — число или выражение a, которое является повторяющимся множителем. В записи 7⁴ основание — 7, потому что именно это число нужно умножать на себя. Чтобы не перепутать основание с показателем, спроси себя: какое число повторяется в произведении?
Показатель степени — натуральное число n, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 7⁴ показатель равен 4, значит, множителей семь не четыре: число 7 встречается четыре раза. Показатель нужен, чтобы точно задать, сколько раз повторяется основание.
Значение степени — результат умножения основания самого на себя указанное число раз. Например, значение степени 3⁴ равно 81, потому что 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Различай запись степени и её значение: 3⁴ — это выражение, а 81 — полученный результат.
Запись aⁿ заменяет произведение n одинаковых множителей a: a · a · … · a. Показатель нужен именно для подсчёта множителей, ведь если потерять хотя бы один, получится другое произведение и другое значение. Например, 2⁴ — это четыре двойки, а не две двойки и не число 2, умноженное на 4. Поэтому прежде чем вычислять степень, полезно раскрыть её запись и пересчитать множители.
Основание отвечает на вопрос «что повторяется?», а показатель — «сколько раз?». Если оставить основание тем же, но увеличить показатель, в произведлении станет больше множителей; значение при основании больше 1 обычно возрастёт. Если изменить основание, изменится каждый множитель: например, 2³ = 8, а 3³ = 27. Итак, основание задаёт величину повторяющегося числа, а показатель — длину произведения.
Первая степень любого числа равна самому числу: a¹ = a. Причина проста: при показателе 1 в произведении ровно один множитель, поэтому перемножать с другими числами нечего. Степень с показателем 2 называют квадратом числа, потому что в ней два одинаковых множителя: a² = a · a. Степень с показателем 3 называют кубом: a³ = a · a · a; эти названия часто встречаются в задачах о площадях и объёмах.
Если основание положительное, каждый множитель положителен, а произведение положительных чисел тоже положительно. С отрицательным основанием знак зависит от количества множителей: два отрицательных множителя дают положительное произведение, и каждую такую пару можно убрать, не меняя знак. При чётном показателе все отрицательные множители разбиваются на пары, поэтому результат положительный. При нечётном показателе одна отрицательная «лишняя», и результат отрицательный.
Скобки показывают, входит ли минус в основание степени. В записи (-a)ⁿ основание — всё отрицательное число в скобках, поэтому знак результата зависит от чётности n. В записи -aⁿ степень относится только к a, а знак минус стоит перед результатом: сначала вычисляют aⁿ, затем меняют знак. Например, -3² = -(3 · 3) = -9, но (-3)² = (-3) · (-3) = 9. Скобки особенно нужны, когда основание отрицательное: без них смысл записи может измениться.
| Случай | Запись | Смысл | Пример |
|---|---|---|---|
| Произвольный натуральный показатель | aⁿ | n одинаковых множителей a | 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 |
| Первая степень | a¹ | Одно основание | 7¹ = 7 |
| Квадрат числа | a² | Произведение двух множителей a | 5² = 25 |
| Куб числа | a³ | Произведение трёх множителей a | 2³ = 8 |
| Отрицательное основание с чётным показателем | (-a)²ᵏ | Положительное значение при a > 0 | (-3)² = 9 |
| Отрицательное основание с нечётным показателем | (-a)²ᵏ⁺¹ | Отрицательное значение при a > 0 | (-3)³ = -27 |
Сначала найди в таблице подходящий случай, а затем прочитай смысл записи и сверь его с примером. Для отрицательного основания отдельно проверь, чётный показатель или нечётный: это поможет определить знак, даже если вычислять значение пока не нужно.
Буква k в последних двух строках означает натуральное число или ноль: показатель 2k чётный, а показатель 2k + 1 нечётный. В записи степени отрицательного числа скобки показывают, что минус входит в основание. Без них знак перед степенью относится к результату, а не к основанию.
Нужно увидеть, какое число повторяется, и сосчитать повторения. Так мы определим отдельно основание и показатель, а затем сможем вычислить значение степени. Важно не умножить 6 на число повторений: показатель не становится вторым множителем.
Ответ: 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁴ = 1296.
Оба основания здесь отрицательные числа в скобках, поэтому сначала рассмотрим знак каждой степени. Чётная степень отрицательного числа положительна, а нечётная — отрицательна. После этого вычтем найденные значения, сохраняя знаки.
Ответ: 24.
Здесь решающими оказываются скобки: они показывают, входит ли минус в основание. Сначала определим, к чему относится показатель степени, и только потом вычислим каждое выражение. Сравнивать нужно значения выражений, а не их внешний вид.
Ответ: значение -3² меньше значения (-3)².
Путают основание и показатель: например, думают, что в 5³ основание — 3. Такое случается, потому что оба числа записаны рядом, но у них разные роли: основание повторяется, а показатель считает повторы. Проверь себя, развернув запись: 5³ = 5 · 5 · 5.
Записывают aⁿ как a · n, то есть принимают показатель за множитель. Возможно, причина в том, что показатель тоже число, однако он не участвует в произведении основания. Для проверки раскрой степень: если n = 3, должно получиться a · a · a, а не a · 3.
Забывают скобки и считают -a² тем же, что (-a)². В первом случае минус стоит перед степенью, а во втором входит в основание, поэтому результаты могут быть разными. Подставь вместо a число 3 и вычисли обе записи по порядку действий: получатся -9 и 9.
Считают, что любая степень отрицательного числа отрицательна. Ошибка возникает, если не проверить, сколько отрицательных множителей перемножается: два минуса дают плюс, а три — минус. Определи чётность показателя или раскрой несколько множителей: чётная степень положительна, нечётная отрицательна.
Для работы со степенями нужно уметь умножать числа, пользоваться скобками и соблюдать порядок действий. Дальше степень понадобится при изучении свойств степеней, одночленов, многочленов и стандартного вида числа. Она встречается и за пределами преобразования выражений: например, в формулах площадей и объёмов, а также в научной записи чисел. Поэтому понимание основания, показателя и скобок пригодится в разных разделах математики.
Почему показатель степени пишут сверху справа?
Так принято обозначать, что маленькое число относится к основанию и показывает количество его множителей. Например, в записи 4³ число 3 указывает, что нужно перемножить три четвёрки: 4 · 4 · 4.
Чем отличается -2^3 от (-2)^3?
В записи -2³ степень относится только к числу 2, а минус стоит перед результатом: -2³ = -(2 · 2 · 2) = -8. В записи (-2)³ основание — отрицательное число -2, но результат тоже равен -8, потому что отрицательных множителей нечётное число. При чётном показателе значения этих записей уже различаются.
Почему квадрат отрицательного числа положителен?
При возведении отрицательного числа в квадрат оно умножается само на себя, то есть на ещё одно отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел положительно: например, (-4)² = (-4) · (-4) = 16.
Можно ли считать показатель степени множителем?
Нет. Показатель показывает количество одинаковых множителей, а не участвует в умножении вместо одного из них. Поэтому 5³ = 5 · 5 · 5 = 125, а не 5 · 3.
Как быстро определить знак степени отрицательного числа?
Посмотрите на показатель: при чётном показателе отрицательных множителей поровну с положительным результатом, поэтому степень положительна. При нечётном один отрицательный множитель остаётся без пары, и результат отрицателен.
§ 6 Степень с натуральным показателем
