"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает компактно записывать большие произведения и быстрее преобразовывать выражения. Главное — понимать, какое число повторяется и сколько раз, а затем выбирать нужное свойство: при умножении одинаковых оснований показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Степень можно также распределить по множителям произведения или числителю и знаменателю частного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2. Такая запись нужна, чтобы коротко обозначать повторяющееся умножение и удобнее выполнять вычисления.
Основание степени — число или выражение, которое повторяется множителем в степени. В записи aⁿ основание — a, а в записи (x + 1)³ основание — всё выражение x + 1. Это помогает правильно определить, какие множители повторяются и к чему относится показатель.
Показатель степени — натуральное число, указывающее количество одинаковых множителей. В записи aⁿ показатель — n: например, в 5³ число 5 берётся множителем три раза. Показатель позволяет отличить число множителей от самого множителя и выбрать подходящее свойство степени.
Степень произведения и степень частного — результат возведения произведения или частного в натуральную степень. Например, (a · b)ⁿ можно заменить произведением aⁿ · bⁿ, а (a : b)ⁿ — частным aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0. Эти правила упрощают выражения, когда основание степени состоит из нескольких частей.
При умножении степеней с одинаковым основанием повторяющиеся множители объединяются. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a), то есть всего получается пять множителей a. Поэтому a³ · a² = a⁵, а в общем случае показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Основание при этом остаётся прежним, ведь все множители одинаковы.
При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Например, a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a), и после сокращения остаются три множителя a. Значит, a⁵ : a² = a³: число оставшихся множителей равно разности показателей. Основание должно быть ненулевым, а в рассматриваемом правиле показатель делимого больше показателя делителя.
При возведении степени в степень исходная группа множителей повторяется несколько раз. В выражении (a³)² две группы по три множителя: (a · a · a) · (a · a · a), всего шесть множителей a. Поэтому (a³)² = a⁶, то есть показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Сложение показателей здесь не подходит, потому что число групп и число множителей в каждой группе перемножаются.
Степень произведения можно раскрыть, потому что каждую копию произведения можно записать отдельно. Например, (a · b)³ = (a · b) · (a · b) · (a · b); переставив множители, получим a³ · b³. Отсюда следует правило (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Показатель действует на каждый множитель, а не только на первый из них.
Частное в степени означает, что всё частное повторяется множителем. Поэтому (a : b)ⁿ = (a : b) · … · (a : b), и после перемножения числителей и знаменателей получается aⁿ : bⁿ. Правило записывают так: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ. Оно верно при b ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя.
В таблице собраны формулы и условия, которые нужно проверить перед преобразованием. Сначала сравни основания, затем посмотри, какое действие выполняется и соблюдены ли ограничения. Если условия подходят, используй соответствующую строку.
| Свойство | Формула | Условия применения |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковыми основаниями | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основания одинаковые; m и n — натуральные числа |
| Деление степеней с одинаковыми основаниями | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m > n |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | m и n — натуральные числа |
| Возведение произведения в степень | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | n — натуральное число |
| Возведение частного в степень | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0, n — натуральное число |
Задача 1. Упростить выражение: 2³ · 2⁵. Основания обеих степеней одинаковые, значит, можно применить правило умножения степеней. Сохраним основание 2 и сложим показатели.
Задача 2. Упростить выражение: (3²)⁴ : 3⁵. Здесь сначала нужно разобраться со степенью в скобках, а потом делить степени с одинаковыми основаниями. Не вычитай показатели до раскрытия внешней степени: сначала получи одну степень с основанием 3.
Задача 3. Упростить выражение и найти его значение: (2 · 5)³ : 10². Сначала можно возвести произведение в степень, а затем заметить, что получатся степени с основанием 10. Это позволяет выполнить деление по правилу для одинаковых оснований.
Ошибка: при умножении степеней складывают основания, например записывают a² · a³ как a⁵, но считают это сложением оснований. Правило работает только при одинаковых основаниях, а складываются именно показатели. Ошибку допускают, потому что смешивают два числа в записи степени. Проверь себя, выписав множители: a · a · a · a · a.
Ошибка: при делении степеней вычитают основания или складывают показатели. На самом деле сокращаются одинаковые множители, поэтому при условии a ≠ 0 и m > n остаётся aᵐ⁻ⁿ. Это правило применимо только к одинаковым основаниям. Проверка: разложи обе степени на множители и посмотри, сколько множителей останется.
Ошибка: записывать (aᵐ)ⁿ как aᵐ⁺ⁿ. Так поступают, перенося правило умножения степеней на другое действие. При возведении степени в степень повторяются целые группы множителей, поэтому показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Для проверки раскрой скобки, например (a²)³ = a² · a² · a² = a⁶.
Ошибка: при возведении произведения в степень применять показатель только к одному множителю, например считать (a · b)² равным a² · b. Скобки означают, что всё произведение повторяется множителем, поэтому показатель относится и к a, и к b. Такая ошибка возникает, когда не раскрывают скобки. Проверь равенство на числах или распиши произведение: (a · b)² = a · b · a · b = a² · b².
Чтобы разобраться со свойствами степени, нужно понимать умножение и деление, знать свойства действий с числами и узнавать произведение одинаковых множителей. Эти знания объясняют, почему меняются показатели при преобразованиях. Позже свойства степени помогут упрощать одночлены и многочлены, а также работать с формулами сокращённого умножения. Они понадобятся и при записи чисел в стандартном виде, и при преобразовании степенных выражений.
Почему при умножении степеней складывают показатели, а не основания?
Показатели показывают, сколько одинаковых множителей нужно записать. При умножении такие множители объединяются, поэтому их количество складывается. Например, a² · a³ = a · a · a · a · a = a⁵.
Можно ли применять свойства степени, если основания разные?
Правила aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ и aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ требуют одинаковых оснований. Если основания разные, сначала проверь, можно ли представить их одинаковыми числами или выражениями. Например, 2² · 3² можно преобразовать по свойству степени произведения, но показатели при этом не складываются.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножаются?
Степень aᵐ содержит m множителей a, а возведение её в степень n означает повторить такую группу n раз. Всего получится m · n множителей a. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Как распределить степень по произведению в скобках?
Нужно возвести в эту степень каждый множитель: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Например, (2 · 3)² = 2² · 3². Показатель относится ко всем множителям в скобках.
Какие ограничения нужно учитывать при делении степеней?
При делении степеней с одинаковым основанием основание должно быть ненулевым, а для формулы aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ в этом параграфе требуется m > n. При возведении частного в степень знаменатель тоже не должен равняться нулю.
§ 7 Свойства степени с натуральным показателем
