§ 13. Свойства степени с натуральным показателем

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись короче произведения и помогает быстро выполнять вычисления с одинаковыми множителями.

Основание степени — число или выражение, которое повторяется множителем в степени. В записи aⁿ основание — a, а в записи (x + 1)³ основанием служит всё выражение x + 1. Чтобы правильно раскрывать степень, сначала нужно увидеть, какой именно множитель повторяется.

Показатель степени — натуральное число, показывающее, сколько одинаковых множителей входит в произведение. В записи 7⁵ показатель равен 5, значит, число 7 записывают множителем пять раз. Показатель помогает определить длину произведения, а не значение основания.

Степень произведения — произведение степеней множителей с тем же показателем: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Это означает, что каждый множитель произведения повторяется n раз. Такое обозначение удобно, когда нужно раскрыть скобки со степенью или отдельно вычислить степени множителей.

Как это устроено

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, можно заменить каждую степень произведением. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a): всего получилось пять множителей a. Поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — показатели складывают, поскольку считают общее количество одинаковых множителей.

При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются попарно. Например, a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a) = a³. Отсюда правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; оно применимо только при a ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя.

При возведении степени в степень повторяется не отдельное основание, а целая группа множителей. Например, (a²)³ = (a · a) · (a · a) · (a · a): три группы содержат по два множителя, всего их шесть. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, то есть показатели перемножаются.

В степени произведения каждый множитель повторяется столько раз, сколько показывает общий показатель. Так, (ab)³ = (ab) · (ab) · (ab); если сгруппировать множители a и b, получится a³b³. Поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, и это правило действует для каждого множителя произведения.

Степень частного можно представить как произведение одинаковых дробей: (a : b)ⁿ = (a : b) · … · (a : b). Собрав отдельно числители и знаменатели, получаем aⁿ : bⁿ. Следовательно, (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, но b должно быть не равно нулю, иначе исходное частное не определено.

Свойства степени с натуральным показателем

Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверь, одинаковы ли основания и какая операция выполняется. При делении отдельно убедись, что основание или знаменатель, на который делят, не равен нулю. Условия в последнем столбце указывают, когда формулу можно применять.

Разбор задач

Задача 1. Представить произведение 5³ · 5² одной степенью. Основания одинаковые, значит, применяем правило умножения степеней. В общей записи складываются показатели, а основание остаётся прежним.

1. Запишем правило: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
2. Подставим основание 5 и показатели 3 и 2: 5³ · 5² = 5³⁺².
3. Сложим показатели: 3 + 2 = 5.

Ответ: 5⁵. Проверить можно раскрытием степеней: слева и справа получится пять множителей 5.

Задача 2. Упростить выражение (a⁴)³ · a² при допустимых значениях переменной. Здесь сначала нужно преобразовать степень, возведённую в степень, и только потом перемножать степени с одинаковым основанием. Значение a может быть любым: в выражении нет деления на a.

1. Применим правило возведения степени в степень: (a⁴)³ = a⁴·³ = a¹².
2. Теперь умножим степени с основанием a: a¹² · a² = a¹²⁺².
3. Сложим показатели: 12 + 2 = 14.

Ответ: a¹⁴. Порядок преобразований помог не спутать два разных правила: сначала показатели перемножились, затем сложились.

Задача 3. Упростить (2x³)² : (4x²) при x ≠ 0. Сначала возведём в квадрат каждый множитель в числителе, затем разделим числовые коэффициенты и степени с основанием x. Условие x ≠ 0 позволяет выполнить деление на x².

1. Раскроем степень произведения: (2x³)² = 2² · (x³)² = 4x⁶.
2. Поделим коэффициенты: 4 : 4 = 1; степени разделим по правилу: x⁶ : x² = x⁶⁻² = x⁴.
3. Объединим результат: 1 · x⁴ = x⁴.

Ответ: x⁴. Проверяй, что показатель степени применён и к числу 2, и к x³, а деление выполняется при указанном условии x ≠ 0.

Типичные ошибки

Ошибка: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели перемножают. Так бывает, если спутать это действие с возведением степени в степень. Проверь правило раскрытием скобок: a² · a³ содержит пять множителей a, поэтому результат a⁵, а не a⁶.

Ошибка: при возведении степени в степень показатели складывают. Здесь повторяется вся группа множителей, поэтому общее число множителей находят умножением показателей. Например, (a²)³ — это три группы по два множителя, то есть a⁶; проверка раскрытием скобок сразу выявляет ошибку.

Ошибка: показатель применяют только к одному множителю в скобках, например считают, что (ab)² = ab². Причина — невнимание к тому, что основание степени здесь всё произведение ab. Раскрой скобки как (ab) · (ab): выйдет a²b², значит, степень относится к обоим множителям.

Ошибка: делят степени с одинаковым основанием, когда основание равно нулю. Иногда забывают, что после сокращения всё равно выполняется исходное деление, а делитель не может быть нулём. Перед применением правила проверь условие a ≠ 0; если оно нарушено, выражение с делением не определено.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь умножать и делить числа, пользоваться свойствами этих действий и понимать, что натуральный показатель задаёт количество множителей. Эти знания помогают упрощать алгебраические выражения и выполнять преобразования одночленов. Свойства степени с натуральным показателем станут опорой при изучении степеней с целыми и другими показателями, где правила будут расширяться.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• При возведении произведения в степень показатель относится к каждому множителю.
• При возведении частного в степень показатель относится и к числителю, и к знаменателю.
• Перед применением правил деления проверь, что делитель не равен нулю.