4.1.2. Свойства степени с натуральным показателем

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — это запись aⁿ, которая означает произведение n одинаковых множителей a. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись удобна, когда одно и то же число или выражение нужно умножить само на себя несколько раз.

Основание степени — число a, которое становится одинаковым множителем в записи aⁿ. Например, в выражении 5⁴ основание равно 5, и именно оно повторяется в произведении. Понимание основания помогает определить, какие степени можно объединять по правилам умножения и деления.

Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит в произведение. В записи 7² показатель равен 2, поэтому 7² = 7 · 7. Показатель считают надстрочным числом; он не означает умножение основания на само число n.

Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Это согласуется с правилом деления степеней: при делении aⁿ на aⁿ получается 1, а разность показателей равна нулю. Для основания 0 такое рассуждение невозможно, потому что пришлось бы делить на ноль.

Как это устроено

При умножении степеней с одинаковым основанием множители из обеих записей можно собрать в одно произведение. В aᵐ уже есть m множителей a, а в aⁿ — ещё n таких множителей, поэтому всего их m + n. Получаем правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, 3² · 3³ = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 3⁵.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если m ≥ n, после сокращения aⁿ остаётся m − n множителей, поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ненулевое основание необходимо, иначе знаменатель aⁿ окажется равен нулю. Условие m ≥ n позволяет записать результат степенью с натуральным или нулевым показателем.

При возведении степени в степень сначала представим внутреннюю степень как группу одинаковых множителей. В выражении (aᵐ)ⁿ такая группа повторяется n раз, и в каждой группе находится m множителей a. Значит, всего получается m · n множителей, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶.

Если возводят в степень произведение, каждый повтор группы содержит все множители произведения. Так, (ab)³ = (ab)(ab)(ab) = a³b³, поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Для дроби рассуждение такое же: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, потому что числитель и знаменатель повторяются n раз. Знаменатель b должен быть ненулевым, иначе дробь не определена.

Нулевая степень согласуется с правилом деления, если основание не равно нулю. Действительно, aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а деление ненулевого числа на себя равно 1. При a = 0 левая часть стала бы 0 : 0, у которого нет значения. Поэтому рассуждение устанавливает a⁰ = 1 только при a ≠ 0 и не задаёт значение 0⁰.

Свойства степени с натуральным показателем

Сначала найди, какое действие выполняется и совпадают ли основания: только тогда можно выбирать формулу. Затем проверь условия, особенно при делении и работе с дробью. Если выражение состоит из нескольких действий, упрощай его по частям.

Разбор задач

Упростите выражение 2³ · 2⁴. Основания одинаковые, значит, можно объединить все множители двойки и сложить показатели. Такой способ сокращает запись, но не меняет значение выражения.

1. Запишем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
2. Подставим основание 2 и показатели 3 и 4: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴.
3. Сложим показатели: 2³⁺⁴ = 2⁷.

Ответ: 2⁷.

Упростите (x³)² · x² : x⁴ при x ≠ 0. Здесь есть возведение степени в степень, умножение, а затем деление степеней. Условие x ≠ 0 позволяет выполнить деление на x⁴ и не получить нулевой знаменатель.

1. Применим правило степени степени: (x³)² = x⁶.
2. При умножении степеней с основанием x сложим показатели: x⁶ · x² = x⁸.
3. Разделим степени с одинаковым ненулевым основанием: x⁸ : x⁴ = x⁸⁻⁴ = x⁴.

Ответ: x⁴ при x ≠ 0.

Упростите ((2a²b)³ · a²) : (4a³b²) при a ≠ 0 и b ≠ 0. Сначала раскроем степень произведения, чтобы отдельно собрать степени одинаковых оснований. Затем проверим коэффициенты и выполним деление, разрешённое условиями задачи.

1. Возведём каждый множитель в третью степень: (2a²b)³ = 2³ · (a²)³ · b³ = 8a⁶b³.
2. Умножим на a² и объединим степени a: 8a⁶b³ · a² = 8a⁸b³.
3. Разделим коэффициенты и степени одинаковых оснований: (8a⁸b³) : (4a³b²) = 2a⁸⁻³b³⁻².
4. Вычислим разности показателей: 2a⁵b.

Ответ: 2a⁵b при a ≠ 0 и b ≠ 0.

Типичные ошибки

Ошибка: при умножении степеней складывают основания, а не показатели. Так поступают, перенося привычное действие сложения на запись степеней, но правило применимо только при одинаковых основаниях: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Проверь себя, развернув степени в произведение одинаковых множителей.

Ошибка: при возведении степени в степень показатели складывают. В действительности группа из m множителей повторяется n раз, поэтому показатели нужно перемножить: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Для проверки раскрой скобки, например, (a²)³ = a² · a² · a² = a⁶.

Ошибка: степень распределяют на слагаемые, будто (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Это неверно, потому что степень суммы означает повторение всей суммы как множителя, а не отдельных слагаемых. Проверь равенство на числах: (2 + 3)² = 25, тогда как 2² + 3² = 13.

Ошибка: сокращают степени с нулевым основанием или применяют правило деления, не проверив знаменатель. При a = 0 степень aⁿ равна нулю, поэтому делить на неё нельзя. Перед сокращением убедись, что основание знаменателя ненулевое, а при дроби проверь, что знаменатель не равен нулю.

Связь с другими темами

Чтобы работать со степенями, нужно уметь умножать и делить числа, узнавать произведение одинаковых множителей и понимать буквенные выражения. Эти навыки позволяют раскрыть степень, объединить множители и проверить, допустимо ли деление.

Свойства степеней помогают преобразовывать одночлены и многочлены, упрощать и вычислять выражения. Позже те же идеи пригодятся при изучении степеней с целыми показателями, где к натуральным показателям добавятся нулевые и отрицательные.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения равна произведению степеней его множителей.
• Степень дроби равна дроби степеней числителя и знаменателя при ненулевом знаменателе.
• Для любого a ≠ 0 верно a⁰ = 1.