"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 3 · 3 · 3 · 3 пишут 3⁴: число 3 повторяется четыре раза. Такая запись помогает компактно выражать длинные произведения и упрощает вычисления. В степени важно различать основание — повторяющийся множитель — и показатель, который сообщает, сколько раз его нужно взять. Вторая и третья степени имеют специальные названия: квадрат и куб.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 4 · 4 · 4 записывают короче как 4³. Такое определение помогает сжато записывать длинные произведения и видеть, какое число повторяется.
Основание степени — число, которое повторяется множителем. В записи 7⁴ основание — 7, потому что именно его четыре раза перемножают: 7 · 7 · 7 · 7. Определив основание, мы понимаем, какое число нужно повторять при раскрытии степени.
Показатель степени — натуральное число, показывающее количество одинаковых множителей. Например, в 7⁴ показатель равен 4, значит, основание 7 берут множителем четыре раза. Показатель нужен, чтобы узнать длину произведения, а не значение самого основания.
Запись степени — выражение вида aⁿ, где a — основание, а n — показатель. Например, в 2⁵ число 2 стоит внизу как основание, а маленькая цифра 5 справа сверху — показатель. По этим двум элементам можно восстановить произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
Краткая запись степени появляется, когда в произведении много раз повторяется один и тот же множитель. Вместо 6 · 6 · 6 · 6 · 6 можно написать 6⁵, сохранив сведения и о повторяющемся числе, и о числе повторений. Поэтому такая запись короче, а смысл произведения остаётся понятным.
Показатель считают по множителям, потому что именно он описывает, сколько раз основание участвует в умножении. В произведении 8 · 8 · 8 множителей три, хотя значение каждого из них равно восьми. Поэтому это 8³, а не 8⁸: значение основания не определяет показатель.
Запись aⁿ читают «а в степени эн» или «а в энной степени». Основание находится на обычной строке, показатель — маленькое число справа сверху; например, у 5² основание 5, показатель 2. Такое расположение сразу подсказывает: первое число повторяется, а второе сообщает, сколько раз.
Чтобы раскрыть степень, нужно записать её основание множителем столько раз, сколько показывает показатель: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. В обратную сторону ищут одинаковые множители и считают их количество: 9 · 9 · 9 = 9³. Если множители отличаются, объединять их в одну степень нельзя, потому что это уже не произведение одинаковых чисел.
Степень с показателем 1 содержит один множитель, поэтому a¹ = a. Вторую степень a² называют квадратом числа: это произведение a · a; третью a³ называют кубом: это a · a · a. Названия связаны с геометрией: квадрат со стороной a имеет площадь a², а куб с ребром a — объём a³.
| Случай или элемент | Обозначение | Смысл | Пример |
|---|---|---|---|
| Основание степени | a в записи aⁿ | Число, которое повторяется множителем | В 4³ основание — 4 |
| Показатель степени | n в записи aⁿ | Количество множителей, равных основанию | В 4³ показатель — 3 |
| Степень с натуральным показателем | aⁿ | Произведение n одинаковых множителей a | 4³ = 4 · 4 · 4 |
| Первая степень | a¹ | Один множитель, равный основанию | 6¹ = 6 |
| Вторая степень | a² | Квадрат числа: a · a | 5² = 5 · 5 |
| Третья степень | a³ | Куб числа: a · a · a | 2³ = 2 · 2 · 2 |
Сначала найдите основание и показатель, затем прочитайте смысл записи по столбцу «Смысл». Для первой, второй и третьей степеней полезно вспомнить отдельные названия и развернуть степень в произведение. Таблица помогает проверить, не перепутаны ли число-множитель и количество множителей.
Задача: вычислить 3⁴. Сначала выясним, что основание 3 нужно взять множителем четыре раза, а затем посчитаем произведение. Так мы не смешаем показатель с действием умножения основания на показатель.
Ответ: 81.
Задача: записать произведение (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) в виде степени и найти его значение. Повторяется отрицательное число −2, а множителей всего пять. Скобки сохраняют отрицательный знак внутри основания.
Ответ: (−2)⁵ = −32.
Задача: вычислить 2⁵ − 3² + (−1)⁴. Сначала выполняют возведение в степень, а уже потом сложение и вычитание. Скобки в последней степени показывают, что основание — число −1.
Ответ: 24.
Иногда путают основание и показатель: в 4³ называют основанием 3, потому что оно заметнее своей позицией сверху. Так происходит, если не учитывать роль элементов: основание повторяют, показатель считает повторы. Проверьте себя, раскрыв запись: у 4³ должно получиться 4 · 4 · 4.
Другая ошибка — умножить основание на показатель и принять результат за значение степени. Например, 3⁴ ошибочно считают как 3 · 4 = 12, хотя нужно перемножить четыре тройки и получить 81. Чтобы проверить действие, запишите произведение полностью и пересчитайте множители.
При отрицательном основании иногда забывают скобки и записывают −3² вместо (−3)². Без скобок минус может относиться ко всему результату возведения 3 в квадрат, а не входить в основание. Спросите себя, какое именно число повторяется: если отрицательное, заключите его в скобки.
Можно ошибочно посчитать цифры или различные числа вместо одинаковых множителей. В произведении 5 · 5 · 5 основание одно и то же, а множителей три, поэтому запись — 5³. Для проверки обведите или перечислите повторяющиеся множители и считайте каждый раз, когда основание умножается.
Для понимания степеней нужно уметь умножать числа и замечать одинаковые множители в произведении. Это помогает не только быстро записывать повторение, но и проверять результат раскрытием степени. Позже понятие пригодится при изучении свойств степеней, одночленов и многочленов: с ним удобно упрощать выражения.
Степени встречаются и за пределами алгебраических упражнений. Площадь квадрата со стороной a записывают как a², а объём куба с ребром a — как a³. Степени также помогают кратко записывать большие и малые числа в стандартном виде.
Почему показатель степени показывает количество множителей?
Степень вводят как краткую запись произведения одинаковых чисел. Поэтому показатель и указывает, сколько раз основание записано множителем: в 5³ множителей пять не становится — их три.
Чем степень отличается от произведения основания и показателя?
В степени основание умножают само на себя указанное число раз. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, а произведение основания и показателя равно 3 · 4 = 12.
Как определить основание и показатель в записи степени?
В записи aⁿ основание — число a, а показатель — число n, записанное сверху справа. Основание повторяется множителем, а показатель сообщает количество таких множителей.
Почему в записи (-3)² нужны скобки?
Скобки показывают, что основанием служит всё отрицательное число −3. Тогда (-3)² означает (−3) · (−3) = 9; без скобок запись −3² читается как минус произведение 3 · 3 и равна −9.
Как записать произведение одинаковых множителей в виде степени?
Нужно взять повторяющееся число за основание, а число его повторений — за показатель. Например, 4 · 4 · 4 · 4 можно записать как 4⁴.
4.1.1. Понятие степени с натуральным показателем
