§ 1. Степень с натуральным показателем

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей, записанное кратко в виде aⁿ. Например, вместо 5 · 5 · 5 · 5 можно написать 5⁴. Такая запись удобна, когда одинаковый множитель повторяется много раз: не нужно каждый раз переписывать его.

Основание степени — число a, которое является повторяющимся множителем. В записи 6³ основание равно 6, то есть именно шестёрку нужно умножать саму на себя. Основание помогает понять, какое число участвует в повторном умножении.

Показатель степени — натуральное число n, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 6³ показатель равен 3, поэтому множитель 6 встречается три раза. По показателю можно восстановить произведение, даже если оно не раскрыто.

Значение степени — результат умножения основания самого на себя указанное число раз. Например, значение 2⁴ равно 16, потому что 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись степени от полученного числа.

Как это устроено

Запись aⁿ заменяет произведение n одинаковых множителей, потому что повторяющийся множитель можно обозначить один раз, а количество повторений указать числом сверху. Чтобы восстановить произведение, нужно взять основание a и написать его n раз, поставив между копиями знаки умножения. Например, 4⁵ означает 4 · 4 · 4 · 4 · 4, а не пять разных множителей. Такой способ записи особенно полезен для длинных произведений.

Степень читают «a в степени n» или, если показатель 2, «a в квадрате», а если 3 — «a в кубе». Показатель пишут маленьким числом сверху, чтобы отличать его от основания и от обычного множителя рядом с ним. Например, 3⁴ — это четыре тройки, перемноженные между собой, тогда как 3 · 4 равно двенадцати. Поэтому верхнее положение показателя — часть математической записи, а не указание умножить основание на показатель.

Чтобы вычислить степень положительного числа, нужно последовательно перемножить основание само на себя указанное число раз: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Если отрицательное основание заключено в скобки, знак результата зависит от количества отрицательных множителей: при чётном числе они объединяются в пары, и каждая пара даёт плюс; при нечётном один минус остаётся. Поэтому (−2)⁴ положительно, а (−2)³ отрицательно. Любая степень нуля с натуральным показателем равна нулю, так как в произведении есть только нулевые множители.

Показатель 1 означает, что основание взято множителем ровно один раз, поэтому a¹ = a. Здесь не появляется дополнительное число, на которое нужно умножать a: запись a · 1 тоже равна a, но описывает другое действие. Например, 7¹ — это один множитель 7, а 7 · 1 — произведение чисел 7 и 1. Результаты совпадают, но смысл записей различен.

Если основания одинаковы и больше 1, степень с большим показателем больше: в ней к положительному произведению добавляются множители, большие единицы. Например, 2⁸ можно сравнить с 2⁵ · 2³, сгруппировав восемь двоек в две группы по пять и три множителя. Получится та же последовательность из восьми двоек, значит, выражения равны без вычисления полного значения. При одинаковом показателе можно сравнивать основания, но вывод зависит от знаков и величины оснований, поэтому сначала проверь условия.

Степень с натуральным показателем: запись и вычисление

Сначала найди строку, подходящую к показателю и знаку основания, затем раскрой степень как произведение. Для отрицательного основания проверь, заключено ли оно в скобки: от этого зависит, входит ли минус в степень. Таблица помогает определить способ вычисления, но само значение нужно получить умножением, если оно требуется.

Разбор задач

Задача 1. Записать произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и назвать основание и показатель. Нужно найти множитель, который повторяется, и посчитать число его повторений. Здесь все множители равны 7, а таких множителей четыре.

1. Выделяем одинаковый множитель: это число 7.
2. Считаем повторения: семёрка записана четыре раза.
3. Записываем степень: 7⁴; основание равно 7, показатель равен 4.

Ответ: 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁴; основание 7, показатель 4. Проверка проста: при раскрытии записи должны снова получиться ровно четыре семёрки. Если множителей оказалось другое количество, показатель выбран неверно.

Задача 2. Вычислить (−3)⁴, (−3)⁵ и −3⁴. Здесь важно не начинать с умножения, пока не разобраны скобки и знак: они показывают, какое число возводится в степень. Первые две записи имеют отрицательное основание в скобках, а в третьей минус стоит перед степенью числа 3.

1. (−3)⁴ содержит четыре отрицательных множителя. Их можно объединить в пары: (−3) · (−3) = 9, поэтому итог положительный; 3⁴ = 81.
2. (−3)⁵ содержит пять отрицательных множителей. Четыре дают положительные пары, а один минус остаётся; 3⁵ = 243, значит, результат −243.
3. В записи −3⁴ сначала вычисляем степень положительного числа: 3⁴ = 81. Затем ставим перед результатом внешний минус.

Ответ: (−3)⁴ = 81, (−3)⁵ = −243, −3⁴ = −81. Первые два результата отличаются знаком из-за чётности показателя, а последний — из-за отсутствия скобок вокруг отрицательного основания. Это хороший пример того, почему скобки нужно читать до вычислений.

Задача 3. Сравнить 2⁸ и 2⁵ · 2³, не выполняя полное вычисление степеней. Полезно раскрыть обе степени лишь настолько, чтобы увидеть одинаковые множители. Полностью находить большие значения не требуется.

1. Записываем 2⁸ как произведение восьми двоек.
2. Записываем 2⁵ · 2³ как группу из пяти двоек, умноженную на группу из трёх двоек.
3. Объединяем группы: всего получается пять плюс три, то есть восемь одинаковых множителей 2.

Ответ: 2⁸ = 2⁵ · 2³. Сравнение получилось без вычисления чисел 256 и 32 · 8: достаточно было посчитать одинаковые множители. При таком рассуждении важно не перепутать показатель с множителем и учитывать, что группы соединены умножением.

Типичные ошибки

• Ошибка: заменять a³ на 3a. Так поступают, потому что показатель принимают за обычный множитель, хотя он показывает число повторений основания. Проверь запись раскрытием: a³ = a · a · a, а 3a = a + a + a.

• Ошибка: терять скобки и считать, что (−a)ⁿ и −aⁿ означают одно и то же. Скобки показывают, что в первом случае основание целиком отрицательное; без скобок степень относится только к a, а минус остаётся перед результатом. Для проверки раскрой первые множители: (−2)² = (−2) · (−2) = 4, тогда как −2² = −(2 · 2) = −4.

• Ошибка: определять знак степени отрицательного числа, не учитывая чётность показателя. Это происходит, если смотреть только на минус у основания и не считать количество отрицательных множителей. Разбей множители на пары: при чётном показателе пар хватает на все множители, при нечётном один минус остаётся.

• Ошибка: считать aⁿ равным a · n или относить нулевой показатель к изучаемым степеням с натуральным показателем. В первом случае путают повторное умножение с умножением на количество повторений; во втором забывают, что натуральный показатель здесь начинается с 1. Раскрой произведение и проверь, что показатель — число множителей, а не множитель; запись с показателем 0 не входит в этот набор.

Связь с другими темами

Перед изучением степеней нужно уметь умножать целые числа, пользоваться скобками и различать положительные и отрицательные числа. Это понадобится, чтобы раскрывать произведение и правильно определять знак результата. Дальше степени помогут преобразовывать алгебраические выражения и изучать свойства степеней.

Степени встречаются и в других разделах математики. Например, квадрат используют в формулах площади, а третью степень — в формулах объёма. В старших темах степени также помогают записывать числа в стандартном виде и компактно задавать одночлены.

Что запомнить

• aⁿ — это произведение n одинаковых множителей, равных a.
• a — основание степени, n — её натуральный показатель.
• a¹ = a.
• При возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число.
• При возведении отрицательного числа в нечётную степень получается отрицательное число.
• Скобки определяют, всё ли отрицательное число возводится в степень.
• Показатель степени нельзя путать с множителем.