"Алгебра", Алимов Ш.А.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей: вместо нескольких одинаковых чисел пишут основание и его показатель. Такая запись помогает компактно выражать большие произведения и упрощать вычисления. Главное — различать правила: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при возведении степени в степень перемножают. Знак степени отрицательного числа зависит от того, чётный показатель или нечётный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a, где множителей ровно n. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись заменяет длинное произведение короткой и помогает быстрее выполнять вычисления.
Основание степени — число, которое повторяется множителем в записи aⁿ. В выражении 5⁴ основание равно 5, поэтому произведение состоит из четвёрок. Чтобы правильно раскрыть степень, важно не перепутать основание с показателем: основание показывает, какое число повторяют. Если в основании отрицательное число, скобки помогают увидеть, что знак минус тоже входит в повторяющийся множитель.
Показатель степени — натуральное число, показывающее, сколько раз основание входит в произведение. В записи 5⁴ показатель равен 4, значит, множителей пять быть не может: их именно четыре. Показатель позволяет восстановить исходное произведение и понять, сколько раз нужно умножить основание на себя. При показателе 1 множитель только один, поэтому a¹ = a.
Нулевая степень в рамках этой темы не вводится: здесь показатель натуральный, то есть положительное целое число. Поэтому запись a⁰ пока не используем и не применяем к ней правила, которые изучаются позднее. Первая степень понятна из определения: a¹ = a, потому что произведение из одного множителя равно самому этому множителю. Это помогает не считать первую степень отдельным действием.
Чтобы заменить произведение степенью, сначала найди одинаковые множители и посчитай их. Например, 7 · 7 · 7 · 7 — это 7⁴: число 7 становится основанием, а количество четвёрок — показателем. Читают такую запись «семь в четвёртой степени». Если множители различаются, объединить их в одну степень по этому определению нельзя.
При умножении степеней с одинаковым основанием произведения можно записать рядом. В aᵐ · aⁿ первая степень содержит m множителей a, а вторая — n таких же множителей; всего их m + n. Значит, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Складываются именно показатели, потому что они считают число множителей, а основание остаётся прежним.
Возведение степени в степень означает, что целое произведение повторяется несколько раз. Например, (a³)² = (a · a · a) · (a · a · a): здесь две группы по три множителя, всего шесть множителей a. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, то есть показатели перемножаются. Это не то же самое, что умножить две степени: в скобках повторяется целая группа множителей.
В произведении каждое число входит как множитель, поэтому при возведении произведения в степень повторяется вся группа: (ab)ⁿ = (ab) · … · (ab). Переставив множители, получим aⁿbⁿ — каждый из них повторяется n раз. По той же причине (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ при b ≠ 0: в каждой копии дроби есть числитель a и знаменатель b. Показатель нужно применить и к числителю, и к знаменателю.
Положительное число в любой натуральной степени остаётся положительным, потому что произведение положительных множителей положительно. Для отрицательного основания знак зависит от числа множителей: при чётном показателе отрицательные множители объединяются в пары, а произведение двух отрицательных чисел положительно. При нечётном показателе одна отрицательная величина остаётся без пары, поэтому результат отрицателен. Например, (−2)⁴ = 16, а (−2)³ = −8.
В таблице собраны основные записи и подсказки, когда их применять. Сначала определи, какие элементы выражения повторяются и совпадают ли основания; затем выбери подходящую строку. Для деления проверь, что основание не равно нулю и показатель уменьшаемой степени не меньше вычитаемого.
| Ситуация | Запись | Как применить |
|---|---|---|
| Произведение одинаковых множителей | a · a · … · a = aⁿ | Число одинаковых множителей n становится показателем. |
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основание оставь, показатели сложи. |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | При a ≠ 0 и m ≥ n вычти показатели. |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели перемножь. |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Возведи в степень каждый множитель. |
| Возведение частного в степень | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | Возведи в степень числитель и знаменатель; b ≠ 0. |
Запишите произведение (−3)·(−3)·(−3)·(−3) в виде степени и найдите его значение. Все множители одинаковые, включая знак минус, поэтому основание нужно заключить в скобки. После записи степени проверим знак по чётности показателя.
Упростите выражение 2⁵ · 2³ и вычислите его значение. Основания равны, поэтому можно объединить множители по правилу произведения степеней. После этого достаточно вычислить одну степень, а не две и их произведение.
Упростите выражение (3²·2)³ : 3⁴ и запишите результат в виде степени или числа. Сначала раскроем степень произведения, затем возведём степень в степень. После этого разделим степени с основанием 3, а множитель 2³ оставим отдельно.
При умножении степеней иногда складывают основания: например, ошибочно записывают aᵐ · aⁿ как 2a. Так путают основание и показатель, хотя правило объединяет множители одного и того же основания. Проверь себя, раскрыв степени: в a² · a³ пять множителей a, значит, результат a⁵.
При возведении степени в степень показатели могут ошибочно сложить. Это происходит, когда правило aᵐ · aⁿ переносят на выражение (aᵐ)ⁿ, хотя здесь повторяется вся группа множителей. Раскрой скобки: если группу из m множителей повторили n раз, их стало m · n, поэтому показатели умножаются.
В степени произведения иногда возводят в степень только первый множитель, а в степени частного — только числитель. Причина — невнимательное чтение скобок: показатель относится ко всему выражению внутри них. Для проверки раскрой скобки как повторение всей группы и убедись, что показатель применён к каждому множителю, а у дроби — также к знаменателю.
Выражение (−a)ⁿ ошибочно считают отрицательным при любом n. Знак зависит от того, можно ли сгруппировать отрицательные множители в пары: при чётном n результат положителен, при нечётном — отрицателен. Проверяй чётность показателя и помни о скобках: (−a)ⁿ отличается от −aⁿ, где степень относится только к a.
Для работы со степенями нужно уверенно находить произведение одинаковых множителей и выполнять действия с натуральными числами. Это особенно пригодится, когда показатели небольшие и значение степени можно вычислить напрямую. Понимание смысла записи помогает проверять правила, раскрывая степень в произведение.
Степени сокращают запись при преобразовании алгебраических выражений и работе с одночленами — произведениями чисел и букв. Свойства помогают объединять похожие множители и упрощать выражения, не раскрывая каждую степень полностью. Позже понятие степени расширится: появятся целые показатели и стандартный вид числа.
Что означают основание и показатель степени?
В записи aⁿ число a называют основанием: именно оно повторяется в произведении. Натуральное число n — показатель; он показывает, сколько раз основание является множителем.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Каждая степень — это произведение одинаковых оснований. При умножении произведения объединяются, поэтому число множителей становится равным сумме их количеств: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Чем отличаются правила aᵐ·aⁿ и (aᵐ)ⁿ?
В произведении aᵐ · aⁿ складывают показатели, потому что объединяют две группы одинаковых множителей. В выражении (aᵐ)ⁿ одну группу из m множителей повторяют n раз, поэтому показатели перемножают.
Как определить знак степени отрицательного числа?
Если показатель чётный, отрицательные множители можно объединить в пары, и каждая пара даёт положительное число. Если показатель нечётный, один отрицательный множитель останется, поэтому результат будет отрицательным.
Можно ли применять правила степеней, если основания разные?
Правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ требует одинакового основания. При разных основаниях показатели складывать нельзя, но, например, можно возвести каждый множитель в степень по правилу (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
§ 9. Степень с натуральным показателем
