"Алгебра", Алимов Ш.А.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, a⁴ = a · a · a · a. Свойства степеней помогают упрощать длинные произведения и частные, не раскрывая их полностью: при умножении одинаковых оснований показатели складывают, при делении — вычитают, а при возведении степени в степень — перемножают. Эти правила работают при определённых условиях, поэтому вместе с формулами нужно проверять основания и знаменатели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью с натуральным показателем называют произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число или выражение a умножают само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись помогает коротко обозначать повторяющееся умножение.
Основание степени — число или выражение, которое повторяется множителем в записи степени. В записи aⁿ основание — a, а в записи (x + 1)³ основанием является всё выражение x + 1. Чтобы не ошибиться при преобразовании, нужно определить, что именно возводится в степень. Скобки показывают, где заканчивается основание.
Показатель степени — натуральное число, показывающее, сколько одинаковых множителей входит в произведение. В записи aⁿ это число n: например, показатель 4 в записи a⁴ означает четыре множителя a. Он не означает, что основание умножают на само число 4. Показатель нужен, чтобы понимать длину произведения и применять свойства степени.
В этой теме рассматриваются степени только с натуральными показателями: 1, 2, 3 и так далее. Нулевая степень здесь не вводится, поэтому не следует применять к ней правила из других тем. При записи степени с натуральным показателем считай основание повторённым указанное число раз. Это позволяет объяснить свойства степеней через обычное умножение и сокращение множителей.
При умножении степеней с одинаковым основанием можно раскрыть обе записи как произведения. В aᵐ уже есть m множителей a, а в aⁿ — ещё n таких множителей. После соединения произведений всего получается m + n множителей, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, a² · a³ = a · a · a · a · a = a⁵; основание при этом не меняется.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием множители в числителе и знаменателе сокращаются попарно. Если m > n, после сокращения m множителей a с n множителями a останется m − n множителей в числителе. Поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0 и m > n. Условие a ≠ 0 необходимо, потому что делить на ноль нельзя.
Возведение степени в степень означает, что вся группа множителей повторяется несколько раз. Например, (a²)³ — это три группы по два множителя a, всего шесть множителей. Значит, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: показатели перемножаются, потому что считают общее число оснований. Здесь важно не смешивать это правило с умножением двух степеней.
При возведении произведения в степень каждый множитель повторяется в каждой группе одинаково часто. Например, (ab)³ = ab · ab · ab; если переставить множители, получим a³b³. Поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ: степень относится и к a, и к b. Это правило действует для произведения, а не для суммы внутри скобок.
При возведении частного в степень повторяется всё частное, то есть в каждой группе есть числитель и знаменатель. Например, (a/b)³ = (a/b) · (a/b) · (a/b) = a³/b³. Следовательно, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, если b ≠ 0. Знаменатель должен быть ненулевым и в исходной записи, и в результате.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | m и n — натуральные числа |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m > n |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | m и n — натуральные числа |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | n — натуральное число |
| Возведение частного в степень | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0, n — натуральное число |
Сначала найди, какая часть выражения является основанием, а затем выбери подходящую строку таблицы. Проверь, что выполнены условия: особенно внимательно следи за ненулевым основанием при делении и ненулевым знаменателем. Если правила применяются по очереди, после каждого шага записывай новое выражение.
Задача 1. Представить произведение 2⁴ · 2³ одной степенью. Основания одинаковые, поэтому можно объединить множители двойки. Нужно сложить показатели, а не сами основания. Это даст число множителей в общем произведении.
Ответ: 2⁷. Проверка по смыслу записи: в исходном выражении было четыре двойки и ещё три, всего семь множителей. Поэтому результат соответствует правилу.
Задача 2. Упростить выражение (x³)² · x⁴ : x⁵ и указать ограничения. Сначала преобразуем степень в степени, затем объединим умножение и деление одинаковых оснований. Деление на x⁵ возможно только при x ≠ 0. Это условие нужно записать даже в том случае, если после упрощения переменная в знаменателе исчезнет.
Ответ: x⁵ при x ≠ 0. Ограничение берётся из исходного выражения, где есть деление на x⁵. Без этого условия преобразование могло бы включить недопустимое значение x = 0.
Задача 3. Упростить (2a²b)³ : (4a²b²) и указать, при каких значениях переменных выражение определено. В числителе возведём каждый множитель в третью степень. Затем разделим числовые коэффициенты и сократим одинаковые буквенные множители. Поскольку исходный знаменатель содержит переменные, проверим, когда он не равен нулю.
Ответ: 2a⁴b при a ≠ 0 и b ≠ 0. Условия определённости сохраняются от исходного выражения, хотя после сокращения букв в знаменателе уже не видно. Поэтому ограничения проверяют до сокращения.
Ошибка: при умножении степеней складывать основания, например считать a² · a³ равным a⁵ по сложению чисел в записи. Такое действие путают со сложением показателей, потому что видят знаки умножения и сложения рядом. Складывать показатели можно только при одинаковом основании, а само основание остаётся прежним. Проверь результат, раскрыв степени: должно получиться пять множителей a.
Ошибка: при возведении степени в степень складывать показатели. Это происходит, когда правило умножения степеней ошибочно переносят на выражение в скобках. Здесь повторяется целая группа множителей, поэтому показатели перемножаются: (a²)³ = a⁶. Проверка раскрытием скобок даёт три группы по два множителя, то есть шесть множителей a.
Ошибка: распространять степень на сумму и записывать (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Правило для степени произведения относится к множителям, а слагаемые соединены знаком плюс. Например, (2 + 3)² = 25, но 2² + 3² = 13. Подставь простые числа: если результаты разные, значит, такое преобразование неверно.
Ошибка: применять правило деления при нулевом основании или забывать о ненулевом делителе. Формулу деления используют, не проверив, определено ли исходное выражение. Перед преобразованием убедись, что основание, на которое делят, не равно нулю; также проверь условие m > n для записи с натуральным показателем. Все ограничения запиши рядом с ответом.
Для работы со степенями нужно понимать умножение и деление, буквенные выражения и порядок действий. Именно представление степени как повторного умножения объясняет правила, а умение работать с буквами позволяет применять их к переменным. Если сначала определить порядок преобразований, легче не перепутать правила. Проверка ограничений опирается на знание того, что на ноль делить нельзя.
Свойства степеней помогают упрощать алгебраические выражения и преобразовывать одночлены — произведения чисел и букв. Например, одинаковые буквенные множители можно объединить в степень, а произведение степеней с общей буквой — сократить до одной степени. Это делает записи короче и облегчает дальнейшие вычисления. Условия на переменные при этом сохраняют смысл исходного выражения.
Изученные правила станут основой для дальнейшей работы со степенями, у которых показатели могут быть целыми или рациональными числами. В таких темах появятся новые определения и дополнительные условия, поэтому переносить их сюда без объяснения не нужно. Пока достаточно уверенно применять свойства при натуральных показателях. Понимание смысла каждого правила поможет разобраться в расширенных случаях.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение. Например, в записи 5³ число 5 повторяется три раза: 5 · 5 · 5.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают?
Каждая степень записывается как произведение одинаковых множителей. При умножении произведения соединяются, поэтому общее число множителей равно сумме показателей.
Когда можно вычитать показатели при делении степеней?
Когда делят степени с одинаковым ненулевым основанием и показатель делимого больше показателя делителя. Тогда одинаковые множители сокращаются, а оставшихся множителей основания будет m − n.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножают?
Внешний показатель означает, что вся внутренняя группа множителей повторяется несколько раз. Поэтому число множителей основания равно произведению внутреннего и внешнего показателей.
Можно ли возвести сумму в степень по правилу возведения произведения?
Нет, правило (ab)ⁿ = aⁿbⁿ относится к произведению, а не к сумме. Например, (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13, поэтому такие выражения нельзя приравнивать.
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем
