§ 11. Одночлен. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, букв и их степеней с неотрицательными целыми показателями. Например, 4a²b и −3xy — одночлены. Отдельное число тоже подходит: оно является произведением из одного числового множителя. Отдельная буква — это её первая степень, поэтому x можно записать как x¹.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а каждая буква встречается только в одной степени. Например, запись 2b · a · 3a можно привести к виду 6a²b. Такой порядок делает одинаковые одночлены узнаваемыми и помогает не пропустить множители при вычислениях.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. В записи 5x² коэффициент равен 5, а если число перед буквами не указано, коэффициент равен 1. Если перед буквенной частью стоит только знак минус, коэффициент равен −1: например, в −ab.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех букв в его стандартном виде. У одночлена 3x²y показатель буквы x равен 2, а показатель y равен 1, поэтому степень равна 2 + 1 = 3. У ненулевого числа степень равна 0, поскольку букв в нём нет.

Как это устроено

Одночлен строится умножением: множители можно переставлять и группировать, не меняя результата. Поэтому произведение числа, букв и их степеней остаётся одним выражением-множителем. Сложение устроено иначе: оно соединяет слагаемые, а не образует произведение, поэтому 2x + 3 не соответствует определению одночлена. При этом 2x и 3 по отдельности являются одночленами.

Чтобы получить стандартный вид, сначала удобно собрать числовые множители, а затем расположить буквы. Перестановка допустима благодаря переместительному свойству умножения. Если одна и та же буква повторяется, применяют правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складывают, например a² · a³ = a⁵. В результате числовая часть оказывается впереди, а каждая буква записана один раз.

Объединяют именно одинаковые буквы, потому что правило сложения показателей действует только при одном и том же основании. Например, x² · x³ = x⁵, но x² · y³ нельзя заменить одной степенью: основания x и y разные. Буквы обозначают разные переменные, поэтому их степени остаются отдельными множителями. Это помогает не изменить исходное выражение.

Коэффициент и степень удобно находить уже после приведения к стандартному виду. Коэффициентом будет весь числовой множитель со знаком, а степень получится сложением показателей каждой буквы. Например, в −6a²b³ коэффициент равен −6, а степень — 2 + 3 = 5. Так не перепутаешь числовую часть с буквенной и не примешь показатель одной буквы за степень всего одночлена.

Если одночлен состоит только из ненулевого числа, буквенных показателей нет, поэтому его степень равна 0. Отсутствие записанного коэффициента не означает, что множителя нет: у x коэффициент 1, а у −x коэффициент −1. Нулевой одночлен — это выражение, равное нулю, например 0x²; его степень не определена. Какое бы число ни было показателем при нуле, значение такого произведения остаётся нулём.

Одночлены и их стандартный вид

В таблице сначала проследи, как перемножены числовые множители и собраны одинаковые буквы. Затем коэффициент считай из числовой части, учитывая знак. Степень проверь отдельно: сложи показатели всех букв, а для ненулевого числа используй степень 0.

Разбор задач

Записать одночлен 3x · 2y в стандартном виде и указать его коэффициент.

1. Числовые множители — 3 и 2, поэтому перемножаем их: 3 · 2 = 6.
2. Буквы x и y разные, повторяющихся букв нет, значит, объединять показатели не нужно.
3. Ставим число первым и записываем буквенную часть: 6xy. Числовой множитель в этой записи равен 6.

Ответ: стандартный вид — 6xy, коэффициент — 6.

Привести −2a · 3a²b · (−b) к стандартному виду, найти коэффициент и степень.

1. Сначала перемножаем числа с учётом знаков: (−2) · 3 · (−1) = 6. Два отрицательных множителя дают положительный результат.
2. Собираем одинаковые буквы: a · a² = a³, а b · b = b². Показатели складываем только у совпадающих букв.
3. Записываем коэффициент перед буквенной частью: 6a³b². Коэффициент равен 6, степень равна 3 + 2 = 5.

Ответ: 6a³b², коэффициент 6, степень 5.

Для одночлена 4x²y³ определить коэффициент и степень; затем выяснить, могут ли одночлены 4x²y³ и 4x³y² иметь одинаковую степень.

1. В записи 4x²y³ числовой множитель равен 4, значит, это коэффициент.
2. Складываем показатели букв: 2 + 3 = 5. Следовательно, степень одночлена равна 5.
3. У 4x³y² сумма показателей тоже равна 3 + 2 = 5. Значит, показатели отдельных букв различаются, но степени одночленов одинаковы.

Ответ: коэффициент 4, степень 5; да, оба одночлена имеют степень 5.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать показатели у разных букв, например заменять x²y³ на xy⁵. Так делают, потому что помнят правило сложения показателей, но забывают условие об одинаковом основании. Проверяй, какая буква стоит при каждой степени: объединять можно только одинаковые буквы. Если основания разные, оставляй их отдельными.

Вторая ошибка — забыть перемножить числовые множители или потерять знак. При нескольких множителях числа легко пропустить, а два минуса могут запутать. Выпиши числовую часть отдельно и перемножь её: чётное число отрицательных множителей даёт плюс, нечётное — минус. Затем подставь полученный результат в стандартную запись.

Третья ошибка — считать коэффициентом всё выражение, например называть коэффициентом 5x² вместо числа 5. Это случается, когда числовую и буквенную части не разделяют. Для проверки найди множитель без букв, включая его знак; именно он и есть коэффициент. Если числа перед буквами нет, используй 1 или −1 по знаку.

Четвёртая ошибка — брать за степень наибольший показатель или учитывать только одну букву. Например, у x²y³ степень не 3, а 2 + 3 = 5. Ошибку допускают, смешивая степень одночлена с показателем отдельной буквы. Запиши все показатели и сложи их; у ненулевого числа, где букв нет, степень равна 0.

Связь с другими темами

Для преобразования одночленов нужны свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Если эти правила знакомы, можно менять порядок множителей, вычислять числовую часть и объединять одинаковые буквы. Стандартный вид помогает сравнивать выражения и становится опорой при умножении одночленов и работе с многочленами. Степень пригодится при упрощении алгебраических выражений.

Что запомнить

• Одночлен — произведение, а не сумма слагаемых.
• В стандартном виде числовой коэффициент записывают первым.
• Одинаковые буквы в стандартном виде объединяют в одну степень.
• Если коэффициент не указан, он равен 1; если перед буквенной частью стоит минус — коэффициент равен −1.
• Степень одночлена равна сумме показателей всех букв.
• Ненулевое число — одночлен нулевой степени.