"Алгебра", Алимов Ш.А.
Одночлены — это числа и выражения с переменными, соединёнными умножением. Их умножение нужно, чтобы упрощать алгебраические выражения, раскрывать скобки и работать с многочленами. При вычислении перемножают числовые коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Разные переменные оставляют рядом, а результат записывают в стандартном виде — так, чтобы одинаковые множители были объединены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение числового множителя и одной или нескольких переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 5x²y и −3ab — одночлены. Число 7, переменная x и произведение переменных xy тоже считаются одночленами. Это понятие помогает увидеть, какие выражения можно умножать по одним и тем же правилам.
Стандартный вид одночлена — запись в виде произведения числового коэффициента и степеней различных переменных. Например, 2x · 3x² можно записать как 6x³. Одинаковые переменные объединяют, потому что они являются одинаковыми множителями. Такая запись делает выражение короче и помогает правильно определить его степень.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В одночлене −4a²b коэффициент равен −4, а в xy коэффициент равен 1. Коэффициенты 1 и −1 обычно не записывают: вместо 1x пишут x, вместо −1x — −x. Это сокращает запись, не меняя значения выражения.
Степень одночлена в стандартном виде — сумма показателей степеней всех его переменных. Например, степень 3a²b³ равна 2 + 3 = 5. У переменной без записанного показателя показатель равен 1, поэтому степень xy равна 2. Степень ненулевого числа равна нулю: в нём нет переменных, показатели которых нужно было бы складывать.
При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают, потому что коэффициент является числовым множителем всего выражения. Например, в произведении 3x · (−2y) числа 3 и −2 входят в общий набор множителей. Их произведение равно −6, поэтому числовая часть результата — −6. Знак тоже определяется именно при умножении коэффициентов.
Если встречаются степени одной и той же переменной, их показатели складывают. Причина видна из определения степени: x² означает x · x, а x³ означает x · x · x. В произведении x² · x³ всего пять множителей x, поэтому получается x⁵. Правило xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ работает, когда основания степеней одинаковы.
Степени разных переменных не объединяют, потому что такие переменные не являются одинаковыми множителями. Например, x² содержит два множителя x, а y³ — три множителя y; ни один множитель x нельзя заменить множителем y. Поэтому произведение остаётся x²y³. Показатели складывают только внутри степеней с одной и той же переменной.
Чтобы записать произведение в стандартном виде, сначала перемножают коэффициенты, затем собирают степени каждой одинаковой переменной. Например, в произведении 2x · 3x²y числовая часть равна 6, а множители x объединяются в x³. Переменная y встречается один раз и остаётся y. Получается 6x³y — коэффициент стоит перед переменными, а одинаковые переменные собраны.
Степень произведения одночленов равна сумме степеней этих одночленов. При умножении показатели каждой переменной складываются, поэтому общее число переменных-множителей возрастает на столько, сколько их было в каждом множителе. Например, степень x²y равна 3, а степень x³y² равна 5; произведение имеет степень 3 + 5 = 8. Этот способ позволяет проверить степень результата, даже не перемножая подробно коэффициенты.
| Что умножаем | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Числовые коэффициенты | Перемножить | 3 и −2 дают −6 |
| Степени одинаковой переменной | Показатели сложить | x² · x³ = x⁵ |
| Степени разных переменных | Оставить при произведении | x² · y³ = x²y³ |
| Множители с коэффициентами и переменными | Выполнить оба правила | 2x · 3x²y = 6x³y |
| Степень произведения | Сложить степени множителей | Степень x²y равна 3, степень x³y² — 5 |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала найди коэффициенты и перемножь их, затем отдельно рассмотри каждую переменную. Одинаковые переменные объедини сложением показателей, а разные оставь рядом. В конце запиши результат в стандартном виде и проверь знак и степень.
Сначала разделим множители на числовые и буквенные части. Коэффициенты 4 и 3 перемножаются, а степени x² и x относятся к одной переменной. Значит, показатели для x нужно сложить, а не перемножать.
Ответ: 12x³. Проверка: в исходном произведении было три множителя x — один из 4x и два из x². Поэтому переменная в ответе действительно должна быть x³.
В этом примере важно не потерять минус и рассмотреть отдельно каждую переменную. Коэффициенты −2 и 5 имеют разные знаки, поэтому их произведение будет отрицательным. Переменная a есть в обоих множителях, как и переменная b, но показатели у них нужно объединять отдельно.
Ответ: −10a³b⁴. Проверка: коэффициент отрицательный, поскольку множители имеют разные знаки. Показатели a и b получены сложением только внутри одинаковых переменных.
Здесь три множителя, поэтому коэффициенты и каждую переменную нужно собрать из всех частей выражения. Коэффициент −2 записан в скобках, но скобки не меняют правило умножения. После упрощения отдельно найдём степень результата, сложив показатели переменных.
Ответ: −24x³y⁵, степень одночлена равна 8. Проверка знака: среди коэффициентов один отрицательный, поэтому произведение отрицательно. Проверка степени: сумма показателей x и y в стандартном виде равна восьми.
Первая ошибка — складывать коэффициенты вместо того, чтобы перемножать их. Так происходит, если правило умножения путают со сложением одночленов. Например, коэффициенты 3 и 2 дают при умножении 6, а не 5. Проверь себя: отдельно выпиши числа и выполни именно умножение.
Вторая ошибка — перемножать показатели степеней одинаковой переменной. Например, из x² · x³ ошибочно получают x⁶, хотя степени раскрываются как произведение двух и трёх множителей x. Всего таких множителей пять, поэтому правильно x⁵. Для проверки вспомни правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
Третья ошибка — складывать показатели у разных переменных, например превращать x²y³ в xy⁵. Это неверно: множители x и y различаются, поэтому их нельзя объединить в одну степень. Запиши каждую переменную отдельно и складывай показатели только у одинаковых букв. Так результат x²y³ останется без изменений.
Четвёртая ошибка — потерять знак коэффициента или оставить выражение не в стандартном виде. Минус нужно включать в числовое умножение, а одинаковые переменные — собирать в степени; например, x · x² записывают как x³. В конце проверь знак по знакам коэффициентов и сравни буквы в ответе с исходным произведением. Коэффициенты 1 и −1 отдельно не записывают.
Для умножения одночленов нужно понимать, что такое одночлен и его числовой коэффициент. Также понадобятся степени с натуральными показателями и правило умножения степеней с одинаковым основанием. Если эти знания вызывают затруднение, сначала повтори, как степень записывается в виде произведения одинаковых множителей. Это объясняет, почему показатели при умножении складываются.
Умножение одночленов пригодится при умножении многочленов и раскрытии скобок: там перемножают каждый одночлен с другими слагаемыми. Оно также помогает преобразовывать и упрощать алгебраические выражения. Уверенное применение правил позволит выполнять такие преобразования аккуратно и проверять полученные результаты.
Почему при умножении x² на x³ получается x⁵?
x² — это x · x, а x³ — это x · x · x. Вместе получается пять множителей x, то есть x⁵. Поэтому при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
Что делать с переменными, если они разные?
Степени разных переменных записывают рядом, не складывая их показатели. Например, x² · y³ = x²y³. Переменные различны, поэтому одинаковых множителей для объединения здесь нет.
Как учитывать минус перед одночленом?
Минус является частью числового коэффициента, поэтому учитывается при умножении коэффициентов. Произведение двух отрицательных коэффициентов положительно, а произведение отрицательного и положительного — отрицательно.
Нужно ли записывать коэффициенты 1 и −1?
Коэффициент 1 обычно не пишут: 1x записывают как x. Коэффициент −1 тоже обычно не записывают отдельно, а ставят знак минус перед переменной: −1x = −x.
Как найти степень произведения одночленов?
Нужно сложить степени всех одночленов-множителей. Например, степень x²y равна 3, а степень x³y² равна 5; степень их произведения равна 3 + 5 = 8.
§ 12. Умножение одночленов
