§ 13. Многочлены

Определения и обозначения

Многочлен — выражение, представляющее собой сумму одночленов, например 3x² − 5x + 1. Сумма может состоять и из одного одночлена, например 7x³. Члены разрешается записывать в разном порядке, но удобнее приводить выражение к стандартному виду. Это помогает без путаницы сравнивать и преобразовывать выражения.

Члены многочлена — одночлены, из которых он составлен. В записи 3x² − 5x + 1 это 3x², −5x и 1: знак перед слагаемым относится к самому члену. Число членов считают по одночленам, а не по отдельным буквам и числам внутри них. Например, 3x² — один член, а не произведение из нескольких членов.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже объединены, а члены расположены по убыванию степеней переменной. Например, 4x³ − x² + 7x − 1 записан в стандартном виде. Такой порядок позволяет сразу увидеть, какая степень самая большая. Поэтому характеристики многочлена удобнее определять именно после приведения к стандартному виду.

Степень многочлена — наибольшая степень его одночленов после приведения подобных слагаемых. Например, у многочлена 5x⁴ − 2x + 6 степень равна 4. Сначала нужно объединить слагаемые, потому что некоторые члены одинаковой степени могут сократиться. Тогда степень результата будет меньше, чем можно было предположить по исходной записи.

Как это устроено

Многочлен рассматривают как сумму одночленов, потому что каждую его часть можно преобразовывать по правилам сложения и умножения. Чтобы выделить члены, мысленно раздели запись по знакам «плюс» и «минус». Минус не отделяется от следующего за ним одночлена: например, у 4x² − 3x + 2 три члена, и второй из них равен −3x. Если выражение записано в скобках, сначала учитывают, как скобки влияют на знаки.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, если они есть, и внимательно сохраняют знаки. Затем находят подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Их коэффициенты складывают или вычитают, а получившиеся члены располагают по убыванию степеней. Такой порядок нужен не только для аккуратности: он делает старший член и степень видимыми с первого взгляда.

Степень находят только после приведения подобных слагаемых, потому что коэффициенты одинаковых степеней могут сложиться в ноль. Например, в выражении 6x³ − 4x³ старшие члены дают 2x³, а степень остаётся третьей. Если же было бы 6x³ − 6x³ + 2x², члены с x³ исчезли бы, и результат имел бы вторую степень. Поэтому нельзя определять степень только по самому большому показателю, который встретился до упрощения.

В многочлене с одной переменной стандартная запись показывает степени от большей к меньшей. Степень многочлена — показатель у первого ненулевого члена, а коэффициент при нём называют старшим коэффициентом. Например, у 7x³ − x + 2 старший коэффициент равен 7, степень равна 3. Свободный член — слагаемое без переменной; здесь это 2. Если слагаемого без переменной нет, его можно считать равным нулю.

Чтобы различить одночлен, двучлен и трёхчлен, посчитай члены после приведения подобных слагаемых. Один член — одночлен, два — двучлен, три — трёхчлен, а при большем количестве можно сказать «многочлен» или назвать число членов. Например, 2x + 4 − x сначала выглядит как три слагаемых, но 2x и −x подобны. После объединения получится x + 4, то есть двучлен.

Основные характеристики многочлена

Пользуйся таблицей после упрощения выражения: сначала приведи подобные слагаемые, затем проверь порядок членов. Число членов считай по одночленам, а степень ищи по наибольшему показателю переменной. Старший коэффициент и свободный член прочитай в уже приведённой записи.

Разбор задач

Определим, какие из выражений являются многочленами, и посчитаем их члены: 3x² − 5x + 1; 7x³; 2x + 4 − x.

1. В выражении 3x² − 5x + 1 все слагаемые — одночлены, значит, это многочлен. Члены: 3x², −5x и 1, поэтому их три.
2. Выражение 7x³ состоит из одного одночлена. Следовательно, это многочлен с одним членом.
3. В выражении 2x + 4 − x объединим подобные слагаемые: 2x − x = x. Получаем x + 4 — многочлен с двумя членами.

Ответ: все три выражения являются многочленами; после упрощения в них соответственно 3, 1 и 2 члена.

Приведём к стандартному виду многочлен 4x² − 3x + 7 − 2x² + 5x − 1 и найдём его характеристики.

1. Соберём слагаемые с x²: 4x² − 2x² = 2x². Слагаемые с x дадут −3x + 5x = 2x.
2. Свободные числа складываются так: 7 − 1 = 6. Теперь запишем результат по убыванию степеней: 2x² + 2x + 6.
3. Наибольший показатель переменной равен 2, значит, степень многочлена — 2. Коэффициент при 2x² равен 2, а член без переменной равен 6.

Ответ: 2x² + 2x + 6; степень 2, старший коэффициент 2, свободный член 6.

Приведём к стандартному виду выражение 6x³ − 2x² + x − 4x³ + 5x² − 3x + 8. Здесь особенно важно проверить, не сократятся ли члены самой высокой степени.

1. Объединим кубические члены: 6x³ − 4x³ = 2x³. Они не исчезают полностью, потому что сумма коэффициентов равна 2.
2. Объединим квадратичные и линейные члены: −2x² + 5x² = 3x², x − 3x = −2x. Свободный член — 8.
3. Запишем результат по убыванию степеней: 2x³ + 3x² − 2x + 8. Первый ненулевой член имеет третью степень, значит, степень результата равна 3.

Ответ: 2x³ + 3x² − 2x + 8; многочлен третьей степени.

Типичные ошибки

Ошибка: считать части внутри произведения отдельными членами, например принимать 3x² за два члена. Так происходит, если не отличать умножение от сложения: членом является весь одночлен 3x². Проверка простая — ищи границы между членами по знакам сложения и вычитания, а не по знаку умножения. Не отделяй знак минус от одночлена, который за ним следует.

Ошибка: называть степень по числу членов или по первому записанному слагаемому. Эти признаки не подходят, потому что порядок записи может быть любым, а члены могут сократиться. Сначала приведи подобные слагаемые, затем найди наибольшую степень среди ненулевых членов. Для проверки запиши результат в стандартном виде.

Ошибка: оставить подобные слагаемые раздельно и сразу считать члены, степень или свободный член. Например, в 2x + 4 − x слагаемые 2x и −x объединяются, поэтому исходный подсчёт будет неверным. Перед определением характеристик проверь, нет ли одинаковых буквенных частей. Если они есть, сложи коэффициенты, учитывая их знаки.

Ошибка: при перестановке слагаемых потерять знак или изменить коэффициент. Причина обычно в том, что знак воспринимают как отдельную пометку, хотя он относится ко всему члену. Переноси одночлен целиком: например, −3x при упорядочивании остаётся −3x. После перестановки сложи члены по порядку и проверь, что выражение не изменилось.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужно знать, что такое одночлен, его коэффициент и степень, а также уметь распознавать подобные слагаемые. При раскрытии скобок помогает распределительный закон умножения относительно сложения. Позже многочлены будут складывать и вычитать, умножать на одночлен и раскладывать на множители. Стандартная форма помогает выполнять эти действия и сравнивать алгебраические выражения.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Члены многочлена разделены знаками сложения или вычитания.
• Стандартный вид получают после приведения подобных слагаемых.
• Степень многочлена — наибольшая степень его ненулевого члена.
• Свободный член не содержит переменную.
• Старший коэффициент — коэффициент при члене наибольшей степени.
• Степень и число членов определяют по окончательной записи многочлена.