§ 9 Многочлены

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, то есть выражение, составленное из одночленов сложением или вычитанием. Например, 3x² − 2x + 5 — многочлен, а одночлен 4a и число 6 тоже можно считать многочленами. Это определение позволяет работать с выражениями разного вида по одним правилам.

Член многочлена — каждый одночлен, входящий в многочлен. Члены отделяются знаками «плюс» и «минус»: у выражения 3x² − 2x + 5 это 3x², −2x и 5. Знак минус относится к следующему за ним члену, поэтому при вычислениях его нельзя терять.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой каждый одночлен приведён к стандартному виду, а подобные члены объединены. Например, 2x + 3x² − x + 1 можно записать как 3x² + x + 1. Такая запись не содержит лишних повторов и помогает увидеть строение выражения.

Степень многочлена — наибольшая степень входящих в него одночленов после приведения к стандартному виду. Например, у 5x³ − 2x + 1 степень равна 3, потому что наибольшая степень его членов — 3. Это число показывает, какой член определяет старшую степень выражения.

Как это устроено

Многочлен можно рассматривать как сумму одночленов, потому что сложение включает и вычитание: например, 3x² − 2x + 5 означает 3x² + (−2x) + 5. Поэтому отдельные члены удобно находить по знакам, которые стоят между ними. Если перед первым членом знак не написан, он считается положительным. Такая запись помогает не перепутать знак слагаемого при перестановке или группировке членов.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, если они есть, и приводят каждый одночлен к обычной записи. Затем находят подобные слагаемые — такие, у которых совпадает буквенная часть, — и объединяют их. Например, 2x + 3x² − x + 1 превращается в 3x² + x + 1: слагаемые 2x и −x можно соединить, а 3x² и 1 остаются отдельно. Скобки раскрывают по правилам умножения, чтобы все слагаемые оказались видны и их можно было сравнить.

Подобные одночлены объединяют только при одинаковой буквенной части, потому что складываются именно числовые множители при одной и той же величине. Так, 3x² и 5x² дают 8x², а 3x² и 2x объединить в один член нельзя: у них разные степени x. Складывание только коэффициентов в таком случае изменило бы исходное выражение. Для проверки посмотри, совпадают ли все буквы и их показатели, а не только числа перед ними.

Степень многочлена находят по степеням его членов: степень каждого одночлена вычисляют отдельно, затем выбирают наибольшую. Но это делают после приведения к стандартному виду, потому что слагаемые одинаковой степени могут сократиться. Например, в x² − x² + 3x после объединения первых двух членов остаётся 3x, и степень выражения равна 1, а не 2. Значит, до упрощения найденная наибольшая степень ещё может оказаться не степенью самого многочлена.

Члены часто располагают по убыванию степеней: сначала ставят член наибольшей степени, затем остальные. Например, запись 3x² + x + 1 упорядочена так, потому что степени членов равны 2, 1 и 0. Порядок слагаемых при сложении не меняет значения многочлена. Упорядоченная запись удобна для сравнения выражений и помогает быстрее выполнять дальнейшие действия с многочленами.

Основные характеристики многочлена

Сначала найди члены выражения и их коэффициенты, затем проверь, приведён ли многочлен к стандартному виду. Для определения степени вычисли степени членов и сравни их только после объединения подобных слагаемых. Таблица помогает быстро отделить эти действия друг от друга.

Разбор задач

Записать в стандартном виде многочлен 4x − 3x² + 2 − x + 5x². Здесь встречаются два слагаемых с x и два слагаемых с x², поэтому их можно объединить по отдельности. Число 2 не имеет буквенной части и остаётся самостоятельным членом. Перестановка слагаемых не меняет значение выражения, поэтому сначала удобно собрать подобные.

1. Переставим слагаемые: −3x² + 5x² + 4x − x + 2.
2. Объединим члены с x²: (−3 + 5)x² = 2x².
3. Объединим члены с x: 4x − x = 3x, число 2 оставим без изменений.
4. Запишем результат по убыванию степеней: 2x² + 3x + 2.

Ответ: 2x² + 3x + 2. Нельзя складывать все коэффициенты вместе: у слагаемых разные буквенные части. Полученная запись стандартная, потому что подобные члены уже объединены.

Найти степень многочлена 7a²b − 3ab² + 4a − 6. Сначала определим степень каждого одночлена, складывая показатели переменных внутри него. У переменной, записанной без показателя, показатель равен 1. Затем сравним степени всех членов и выберем наибольшую.

1. У 7a²b степень равна 2 + 1 = 3.
2. У −3ab² степень равна 1 + 2 = 3.
3. У 4a степень равна 1, а у числа −6 степень равна 0.
4. Наибольшая из степеней 3, 3, 1 и 0 равна 3.

Ответ: степень многочлена равна 3. Два старших члена имеют одинаковую степень, но разные буквенные части, поэтому они не являются подобными и не сокращаются. Значит, старшая степень сохраняется.

Упростить выражение 2x(3x² − x + 4) − 5x² и назвать степень полученного многочлена. Здесь сначала нужно раскрыть скобки: множитель 2x умножается на каждый член внутри скобок. После этого проверим, появились ли подобные слагаемые. Степень будем определять только у окончательной упрощённой записи.

1. Умножим 2x на первый член: 2x · 3x² = 6x³.
2. Умножим его на второй член: 2x · (−x) = −2x².
3. Умножим его на третий член: 2x · 4 = 8x.
4. Запишем всё выражение: 6x³ − 2x² + 8x − 5x².
5. Объединим подобные члены −2x² и −5x²: получим 6x³ − 7x² + 8x.

Ответ: 6x³ − 7x² + 8x, степень многочлена равна 3. Член 6x³ остался и имеет наибольшую степень. Порядок действий важен: раскрытие скобок создаёт новые слагаемые, которые нужно объединить до определения степени.

Типичные ошибки

Иногда многочленом считают только выражение, в котором несколько слагаемых. Но одночлен и число тоже относятся к многочленам: они представляют собой сумму из одного члена или постоянное значение. Ошибка возникает из-за бытового смысла слова «много». Проверь себя на выражениях 5x и 8: оба являются частными случаями многочлена.

Нельзя объединять неподобные слагаемые, например 3x² и 2x, даже если хочется сложить коэффициенты 3 и 2. Буквенные части x² и x различаются, поэтому такие одночлены обозначают разные величины. Обычно ошибку допускают, замечая числа, но не проверяя буквы и показатели. Перед объединением сравни всю буквенную часть каждого слагаемого.

У одночлена с несколькими переменными степень — не наибольший отдельный показатель и не их произведение, а их сумма. Например, у 4x²y степень равна 2 + 1 = 3. Если забыть показатель переменной y, получится неверный результат. Чтобы проверить себя, выпиши показатели всех переменных и сложи их; у переменной без показателя он равен 1.

Степень многочлена нельзя всегда определять по записи до упрощения. Например, в x³ − x³ + 2x³ старшие члены после объединения дают x³, а в x³ − x³ + 2x остаётся выражение степени 1. Ошибка появляется, когда выбирают наибольшую степень сразу, не проверив сокращение подобных членов. Сначала приведи многочлен к стандартному виду, а затем сравни степени оставшихся членов.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны правила действий с одночленами: умножение числовых и буквенных частей, а также раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти умения помогают преобразовывать выражение, не меняя его значения. Если они освоены, стандартный вид получается как результат последовательных знакомых действий.

Многочлены используют при сложении, вычитании и умножении выражений, а также при разложении на множители — представлении многочлена в виде произведения. Такие преобразования встречаются и при решении уравнений: упрощённая запись помогает увидеть, какие действия выполнить дальше. Поэтому навык приводить многочлен к стандартному виду пригодится в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Каждый одночлен в многочлене является его членом.
• В стандартном виде подобные члены объединены.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней его переменных.
• Степень многочлена — наибольшая степень его членов после упрощения.
• Перед определением степени многочлен нужно привести к стандартному виду.