§ 5. Многочлены

Определения и обозначения

Многочлен — сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 2x + 5 состоит из трёх одночленов. В многочлене могут быть только числа, только переменные или и числа, и переменные, поэтому это понятие удобно для записи и преобразования алгебраических выражений.

Подобные члены многочлена — одночлены с одинаковой буквенной частью. Их коэффициенты могут различаться: 4a² и −7a² подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть — a². Это позволяет объединять такие члены, складывая или вычитая их коэффициенты.

Многочлен стандартного вида — многочлен, в котором каждый одночлен записан в стандартном виде, а подобные члены приведены. Например, 2x + 3x² − x + 4 после упрощения превращается в 3x² + x + 4. Такая запись помогает сразу увидеть состав и степень многочлена.

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней входящих в него одночленов с ненулевыми коэффициентами. В многочлене 5x³ − 2x + 1 степень равна 3. Поэтому для определения степени сначала нужно убрать подобные слагаемые и не учитывать исчезнувшие члены.

Как это устроено

Одночлены объединяются в многочлен знаками «плюс» или «минус», потому что многочлен является суммой слагаемых с учётом их знаков. Например, 2x², −3x и 5 можно записать как 2x² − 3x + 5. Порядок слагаемых можно менять: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, сначала раскрывают скобки и приводят каждый одночлен к стандартному виду. Затем находят подобные члены и собирают их вместе. Например, 3x² − 2x + 4x² + 5x превращается в 7x² + 3x, потому что коэффициенты подобных членов складываются.

При сложении многочленов одинаковую буквенную часть оставляют без изменения, а складывают только коэффициенты. Это основано на распределительном свойстве: 3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x². Члены с разными буквенными частями объединить нельзя, поэтому их просто записывают в результате.

Вычитание многочлена заменяют сложением противоположного многочлена. Например, A − (2x − 3) = A + (−2x + 3), поэтому при снятии скобок после знака минус знак меняется у каждого слагаемого. Такое правило нужно применять ко всей скобке, иначе получится другой многочлен.

Одночлен умножают на многочлен по распределительному свойству: a(b + c) = ab + ac. Поэтому 3x(2x² − x + 4) = 6x³ − 3x² + 12x: множитель 3x умножен на каждый член. При умножении двух многочленов каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, а затем приводят подобные.

Основные сведения о многочленах

В таблице собраны правила, которые применяются при преобразовании многочленов. Сначала определите, какие члены можно объединить, а затем выполняйте действие по соответствующей строке. После вычислений полезно привести ответ к стандартному виду и проверить знаки.

Разбор задач

Задача 1

Приведите многочлен 3x² − 2x + 5 + 4x² + 7x − 1 к стандартному виду и найдите его степень. Сначала нужно увидеть пары подобных членов. После их объединения старшая степень оставшегося одночлена даст ответ.

1. Сгруппируем слагаемые: (3x² + 4x²) + (−2x + 7x) + (5 − 1).
2. Сложим коэффициенты: 7x² + 5x + 4.
3. Наибольшая степень одночленов — 2, поэтому степень многочлена равна 2.

Ответ: 7x² + 5x + 4; степень 2.

Задача 2

Найдите сумму и разность многочленов 2a² − 3a + 1 и a² + 4a − 5. Для суммы достаточно соединить многочлены и привести подобные члены. Для разности нужно особенно внимательно снять скобки со вторым многочленом.

1. Сумма: (2a² − 3a + 1) + (a² + 4a − 5) = 3a² + a − 4.
2. Разность: (2a² − 3a + 1) − (a² + 4a − 5) = 2a² − 3a + 1 − a² − 4a + 5.
3. Приведём подобные: a² − 7a + 6.

Ответ: сумма 3a² + a − 4; разность a² − 7a + 6.

Задача 3

Упростите выражение (2x − 3)(x² + x − 4) − 2x(x² − 5). Здесь есть умножение двух многочленов и умножение одночлена на многочлен. Каждый множитель нужно распределить по всем членам скобок, а затем объединить подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок: (2x − 3)(x² + x − 4) = 2x³ + 2x² − 8x − 3x² − 3x + 12 = 2x³ − x² − 11x + 12.
2. Раскроем вторую: 2x(x² − 5) = 2x³ − 10x.
3. Вычтем полученный многочлен: 2x³ − x² − 11x + 12 − 2x³ + 10x.
4. Приведём подобные: −x² − x + 12.

Ответ: −x² − x + 12.

Типичные ошибки

Складывают одночлены с разными буквенными частями, например 3x и 2x². Такая ошибка появляется, когда ученик смотрит только на коэффициенты и не сравнивает переменные. Проверьте степени букв: объединять можно лишь члены с полностью одинаковой буквенной частью.

После знака минус меняют знак только у первого члена скобок. Причина обычно в том, что скобки воспринимают как один отдельный член, хотя внутри находится несколько слагаемых. Раскройте скобки по очереди и поставьте противоположный знак перед каждым их членом.

При умножении одночлена на многочлен умножают только на первое слагаемое. Это происходит из-за пропуска распределительного свойства. Чтобы проверить решение, проведите множитель к каждому члену скобок и убедитесь, что количество произведений соответствует количеству слагаемых.

Степень многочлена определяют по первому записанному одночлену. Слагаемые могут стоять в любом порядке, а подобные члены после упрощения иногда исчезают. Поэтому сначала приведите многочлен к стандартному виду, а затем выберите наибольшую степень оставшихся членов.

Связь с другими темами

Для изучения многочленов нужны понятия одночлена, коэффициента и степени одночлена. Также пригодятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, потому что эти действия постоянно используются при упрощении многочленов.

Многочлены применяются при преобразовании алгебраических выражений, разложении на множители и решении уравнений. Освоив действия с ними, легче переходить к формулам сокращённого умножения и более сложным преобразованиям.

Что запомнить

• Многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания.
• В стандартном виде подобные члены уже приведены.
• Складывать и вычитать можно только подобные члены.
• При вычитании многочлена меняют знаки всех его членов.
• Одночлен умножают на каждый член многочлена.
• При умножении многочленов каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
• Степень многочлена стандартного вида равна наибольшей степени его одночленов.