"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Многочлен — это выражение, составленное из одночленов, соединённых сложением или вычитанием. С многочленами выполняют преобразования: приводят к стандартному виду, складывают, вычитают и находят степень. Эти действия помогают упрощать выражения, решать уравнения и подготавливают к разложению на множители и формулам сокращённого умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — произведение числового коэффициента и степеней переменных: −3a²b. Число −3 — коэффициент, a²b — переменная часть, а 2 и 1 — показатели степеней переменных. Это основа для построения более сложных алгебраических выражений.
Многочлен — сумма одночленов, соединённых знаками «плюс» или «минус»: 2x² − 3x + 5. К многочленам относятся также выражения с одним слагаемым, например 7a, и постоянные числа. Такое представление позволяет выполнять одинаковые действия с отдельными слагаемыми.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже объединены, а одночлены расположены по убыванию степеней. Например, 4x³ − 2x² + x − 6 записан стандартно. Такая форма делает структуру выражения понятной и помогает быстро определить его степень.
Степень многочлена — наибольшая степень входящего в него одночлена с ненулевым коэффициентом. Для одночлена с несколькими переменными степенью считают сумму показателей: степень 3a²b³ равна 5. По степени можно определить старший уровень выражения.
Многочлен составляют из одночленов, записывая их друг за другом и соединяя знаками «плюс» или «минус». Знак «плюс» означает, что слагаемое прибавляют, а знак «минус» — что его вычитают, то есть прибавляют противоположное число. Поэтому −4x² в записи 3x³ − 4x² + x является отдельным слагаемым вместе со своим знаком.
Подобные одночлены имеют одинаковую переменную часть: совпадают переменные и показатели их степеней. Они отличаются только коэффициентами, поэтому их можно объединить по распределительному свойству: 3x² + 5x² = (3 + 5)x². Неподобные одночлены, например 2x и 2x², имеют разную структуру, поэтому их коэффициенты нельзя сложить в один одночлен.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, сначала раскрывают скобки, если они есть. Затем находят группы подобных слагаемых и складывают их коэффициенты, сохраняя общую переменную часть. В конце члены располагают от большей степени к меньшей, чтобы старший член оказался первым.
Степень многочлена находят после приведения подобных слагаемых. Нужно сравнить степени всех оставшихся одночленов и выбрать наибольшую, потому что именно она определяет старший член выражения. Если одинаковые старшие члены уничтожились, например 4x³ − 4x³ + x², степень будет равна 2, а не 3.
При сложении многочленов раскрывают скобки и сохраняют знаки всех слагаемых. При вычитании второй многочлен берут в скобки, а знак минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри: A − (B − C) = A − B + C. После этого подобные одночлены объединяют и записывают результат в стандартном виде.
В таблице собраны признаки, по которым удобно проверять работу с многочленами. Сначала определите вид одночленов и их коэффициенты, затем выполните преобразование и сравните результат с правилом.
| Элемент или действие | Что нужно определить | Правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Одночлен | Его части | Коэффициент умножается на степени переменных | −5a²b: коэффициент −5 |
| Коэффициент одночлена | Числовой множитель | Число без переменных; если его нет, коэффициент равен 1 или −1 | x³ = 1x³, −y = −1y |
| Подобные одночлены | Совпадение переменной части | Складывают или вычитают только коэффициенты | 2x² + 7x² = 9x² |
| Стандартный вид многочлена | Порядок и наличие подобных членов | Сначала объединить подобные, затем расположить по степеням | 3x + x² − 1 → x² + 3x − 1 |
| Степень многочлена | Наибольшую степень члена | Берут наибольшую степень ненулевого одночлена | 2x³ − x + 4 имеет степень 3 |
| Сложение многочленов | Сумму подобных членов | Раскрыть скобки без смены знаков и привести подобные | (x² + 2x) + (3x² − x) = 4x² + x |
| Вычитание многочленов | Разность подобных членов | Изменить знаки всех членов вычитаемого и привести подобные | (x² + 2x) − (3x² − x) = −2x² + 3x |
Если в примере есть скобки, начинайте с них, а не с упорядочивания членов. При проверке отдельно просмотрите знаки и показатели степеней: именно в них чаще всего возникает ошибка.
Условие: привести к стандартному виду многочлен 3x² − 5x + 2x² + 7x − 4. Здесь есть две пары подобных слагаемых: с x² и с x. Число −4 не имеет подобных членов.
Ответ: 5x² + 2x − 4.
Условие: найти сумму и разность многочленов 2a² − 3a + 1 и a² + 5a − 6. При сложении знаки второго выражения сохраняются, а при вычитании меняются все знаки в его скобках.
Ответ: сумма 3a² + 2a − 5, разность a² − 8a + 7.
Условие: вычислить 2x³ − 4x² + x − 5 при x = −2 и определить степень многочлена. Сначала степень видна по старшему ненулевому члену 2x³, а затем выполняем подстановку, заключая отрицательное значение в скобки.
Ответ: значение выражения равно −39, степень многочлена — 3.
Иногда складывают 3x и 4x², потому что видят одну и ту же переменную. Это неверно: показатели степеней различаются, поэтому одночлены неподобны. Проверяйте не только буквы, но и все их показатели.
При вычитании выражения часто меняют знак только у первого члена в скобках. Причина ошибки — минус воспринимают как относящийся ко всей скобке, но не переносят его на каждое слагаемое. Раскройте скобки по очереди и проверьте знак каждого члена.
Степенью многочлена иногда называют показатель первого записанного члена. Если выражение ещё не упрощено, первым может стоять не самый старший член или старшие члены могут уничтожиться. Сначала приведите многочлен к стандартному виду, затем найдите наибольшую степень.
При переносе слагаемых теряют коэффициент 1 или знак минус: записывают x² вместо −x² или считают −x равным x. Невидимый коэффициент у x равен 1, а перед −x — −1. Переписывайте каждый член полностью, включая его знак.
До изучения многочленов нужны действия с одночленами, свойства сложения и умножения, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Без этих навыков трудно правильно преобразовать выражение.
Многочлены используются при разложении выражений на множители, решении уравнений и преобразовании алгебраических дробей. Умение объединять подобные слагаемые сокращает вычисления и уменьшает число ошибок.
Эта тема подготавливает к формулам сокращённого умножения и изучению графиков многочленов. Позже стандартный вид и степень помогут предсказывать свойства выражений и их графиков.
Можно ли считать одночлен многочленом?
Да, одночлен можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного слагаемого. Например, 5x² и −3a являются многочленами особого вида.
Как быстро определить, являются ли два одночлена подобными?
Сравните переменную часть: названия переменных и показатели их степеней должны полностью совпадать. Коэффициенты при этом могут быть разными, например 4x² и −7x² подобны, а 4x и 4x² — нет.
Почему сначала нужно привести многочлен к стандартному виду?
В стандартном виде подобные слагаемые уже объединены, а члены упорядочены. Так проще увидеть степень многочлена, выполнять действия и не пропустить слагаемые.
Что происходит со знаками при вычитании многочлена?
Перед каждым слагаемым вычитаемого многочлена знак меняется на противоположный: плюс становится минусом, а минус — плюсом. Затем скобки раскрывают и объединяют подобные слагаемые.
Как определить степень многочлена, если в нём есть несколько переменных?
Сначала находят степень каждого одночлена: складывают показатели всех его переменных. Степень многочлена равна наибольшей из этих степеней, если соответствующий старший член не уничтожился.
§ 3. Многочлены
