"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Разность степеней — двучлен aⁿ − bⁿ, который можно заменить произведением множителей. Для натурального n первый множитель всегда равен a − b, а второй состоит из n слагаемых: степень a в них убывает, степень b возрастает. Формула помогает раскладывать выражения на множители, упрощать их и решать задачи. Проверить разложение можно обратным действием — умножением скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральная степень — это произведение одинаковых множителей: например, a³ = a · a · a. В записи aⁿ − bⁿ основаниями степеней служат a и b, а показатель n у них одинаков. Такое представление помогает увидеть, подходит ли выражение под нужную формулу.
Разность степеней — двучлен вида aⁿ − bⁿ, где из одной степени вычитают другую. Его можно представить произведением множителей, то есть разложить на множители. Это превращает выражение в более удобную для вычислений или решения уравнения форму.
Формула разности n-х степеней записывается так: aⁿ − bⁿ = (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹), где n — натуральное число. Она сразу показывает, на какие множители можно заменить разность степеней. Многоточие обозначает промежуточные слагаемые с тем же порядком изменения показателей.
Второй множитель — сумма членов геометрической прогрессии: в соседних слагаемых степень a уменьшается на единицу, а степень b увеличивается на единицу. Например, при n = 4 это a³ + a²b + ab² + b³. Такая закономерность помогает не пропустить слагаемое и правильно составить скобки.
Формула работает благодаря распределительному свойству умножения. Если умножить каждый член второй скобки сначала на a, а затем на −b, получаются две цепочки слагаемых. Почти все члены встречаются в обеих цепочках с противоположными знаками и сокращаются; остаются крайние aⁿ и −bⁿ.
Устройство второго множителя можно проследить по степеням. Первое слагаемое — aⁿ⁻¹, последнее — bⁿ⁻¹, а между ними показатели меняются по одному: aⁿ⁻²b, затем aⁿ⁻³b² и так далее. В каждом слагаемом сумма показателей равна n − 1, поэтому легко заметить ошибку в степени.
Первым множителем всегда остаётся a − b — чётность или нечётность n этого не меняет. Причина видна при проверке умножением: именно эта разность создаёт сокращающиеся пары с противоположными знаками. Если заменить её на b − a, знак всего произведения изменится, если не изменить знак и у второго множителя.
Для a³ − b³ подставляем n = 3: в первой скобке получаем a − b, а во второй записываем три слагаемых, последовательно уменьшая степень a и увеличивая степень b: a² + ab + b². Значит, a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Для a⁴ − b⁴ во второй скобке уже четыре слагаемых: a³ + a²b + ab² + b³, поэтому a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³).
После разложения можно раскрыть скобки и проверить, что исходный двучлен восстановился. Иногда полезно продолжить разложение: например, в разности шестых степеней первый множитель a³ − b³ сам является разностью кубов. Тогда к нему можно применить формулу ещё раз и получить более полное разложение.
| Показатель n | Разложение | Второй множитель |
|---|---|---|
| Общий случай | (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) | n слагаемых |
| n = 2 | (a − b)(a + b) | a + b |
| n = 3 | (a − b)(a² + ab + b²) | a² + ab + b² |
| n = 4 | (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³) | a³ + a²b + ab² + b³ |
Сначала найди показатель n, затем выбери подходящую строку или запиши общий шаблон. Проверь, что во втором множителе ровно n слагаемых и показатели меняются в нужном порядке. В таблице показаны частные случаи общей формулы.
Задача 1. Разложить на множители x² − 25. Число 25 можно представить как 5², поэтому выражение становится разностью квадратов x² − 5². Здесь основания — x и 5, а показатель равен двум.
Ответ: (x − 5)(x + 5). Если раскрыть скобки, выйдет x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25, поэтому разложение верно.
Задача 2. Разложить на множители 8a³ − b³. Чтобы применить формулу разности кубов, сначала представим 8a³ как куб одночлена: 8a³ = (2a)³. Основаниями будут 2a и b, а не 8a и b.
Ответ: (2a − b)(4a² + 2ab + b²). Для проверки достаточно перемножить скобки: средние слагаемые сократятся, и останется (2a)³ − b³ = 8a³ − b³.
Задача 3. Разложить на множители x⁶ − 64y⁶. Заметим, что 64y⁶ = (2y)⁶, значит, перед нами разность шестых степеней с основаниями x и 2y. Применим общую формулу, а затем посмотрим, можно ли разложить получившийся результат дальше.
Ответ: (x − 2y)(x⁵ + 2x⁴y + 4x³y² + 8x²y³ + 16xy⁴ + 32y⁵). При проверке умножением промежуточные слагаемые сокращаются. Если в другом примере один из множителей окажется, например, разностью кубов, его можно разложить ещё раз.
Иногда первый множитель записывают как b − a, оставляя второй без изменений. Так меняют знак разности оснований и тем самым знак произведения; ошибку часто допускают, переставляя основания местами. Проверь себя раскрытием скобок: если получилась противоположная разность, верни порядок a − b.
Второй множитель иногда записывают со знаками минус. В формуле разности степеней все его слагаемые соединяются знаками плюс, а минус уже стоит в первом множителе a − b. Чтобы проверить знаки, умножь скобки: при верных знаках внутренние слагаемые сокращаются попарно.
Можно пропустить слагаемое или неверно изменить показатели степеней. Обычно это случается, когда записывают длинную скобку на глаз, не отслеживая переход от одного члена к следующему. Сосчитай слагаемые — их должно быть n — и проверь, что показатель a убывает, а показатель b растёт на единицу.
Формулу применяют и к сумме aⁿ + bⁿ, хотя она предназначена именно для разности. Похожая запись сбивает с толку, но при сумме крайний знак и сокращение слагаемых работают иначе. Перед разложением проверь знак между степенями: для этой формулы там обязательно должен стоять минус.
Чтобы применять формулу, нужно знать свойства степеней и уметь представлять числа и одночлены как степени: например, 8a³ = (2a)³. Обоснование опирается на распределительное свойство умножения и знакомую формулу разности квадратов. Разложение на множители пригодится при упрощении выражений, решении уравнений и сокращении алгебраических дробей: произведение часто удобнее исходной суммы или разности.
Для каких натуральных n применяется формула разности степеней?
Формула aⁿ − bⁿ = (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) верна при любом натуральном n. При конкретном n нужно записать ровно n слагаемых во втором множителе.
Почему первый множитель равен a − b?
При умножении скобок с первым множителем a − b промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только aⁿ и −bⁿ, то есть исходная разность.
Сколько слагаемых должно быть во втором множителе?
Во втором множителе ровно n слагаемых, где n — показатель степени в выражении aⁿ − bⁿ. Например, при n = 4 в скобках четыре слагаемых.
Как не перепутать степени a и b во втором множителе?
Начни со слагаемого aⁿ⁻¹ и каждый раз уменьшай показатель a на единицу. Одновременно увеличивай показатель b от 0 до n − 1; в каждом слагаемом сумма показателей равна n − 1.
Можно ли продолжить разложение после применения формулы?
Да, если один из получившихся множителей сам можно разложить на множители. Например, разность квадратов раскладывается ещё раз по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
§ 4. Разложение на множители двучлена ап - bп
