§ 5. Бином Ньютона

Определения и обозначения

Бином — сумма двух слагаемых, например a + b. Выражение в скобках с двумя частями, соединёнными сложением или вычитанием, называют биномом: вычитание можно представить как сложение с отрицательным числом. Это название помогает сразу увидеть, что в скобках именно два слагаемых, которые будут возводиться в степень.

Бином Ньютона — формула, позволяющая разложить степень суммы двух слагаемых в многочлен. Например, вместо многократного умножения скобок можно сразу записать сумму слагаемых с нужными степенями и коэффициентами. Формула особенно удобна, когда степень больше двух.

Коэффициенты бинома Ньютона — числовые множители слагаемых в разложении. Например, в выражении a² + 2ab + b² коэффициенты равны 1, 2 и 1. При изменении степени они образуют последовательности, которые можно находить по правилу сложения соседних чисел.

Треугольник Паскаля — таблица чисел, строки которой помогают находить коэффициенты разложения степеней бинома. Каждая строка начинается и заканчивается единицей, а внутренние числа получают сложением двух чисел над ними. По номеру строки выбирают коэффициенты для соответствующей степени.

Как это устроено

Квадрат суммы раскрывается умножением двух одинаковых скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b). При перемножении каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, поэтому возникают a², ab, ab и b². Два одинаковых средних произведения складываются: ab + ab = 2ab, откуда получается формула a² + 2ab + b². Так становится понятно, почему средний коэффициент равен двум.

Чтобы перейти к следующей степени, можно умножить уже полученный многочлен ещё на (a + b). При сборе одинаковых слагаемых внутренние коэффициенты складываются парами, поэтому в треугольнике Паскаля каждое число внутри строки равно сумме двух соседних чисел предыдущей строки. Например, из строки 1, 2, 1 получается строка 1, 3, 3, 1. Крайние единицы сохраняются, потому что крайние члены образуются только из одной крайней степени.

В каждом слагаемом разложения степени n общий показатель степеней равен n. Для третьей степени это видно в членах a³, a²b, ab² и b³: суммы показателей равны соответственно 3, 2 + 1, 1 + 2 и 3. Степень a при переходе от члена к члену уменьшается на единицу, а степень b увеличивается на единицу. Поэтому после последнего члена с aⁿ обязательно появляется член с bⁿ, и всего слагаемых n + 1.

Для записи разложения сначала находят строку треугольника Паскаля с номером нужной степени, считая строку 1 за степень 0. Затем коэффициенты ставят по порядку: перед первым членом, где стоит первая степень слагаемого, и далее до последнего. Крайние коэффициенты всегда равны 1: первый член содержит только первую букву в степени n, а последний — только вторую. Число коэффициентов должно совпасть с числом слагаемых и равняться n + 1.

Если в скобках разность, её можно записать как сумму с отрицательным слагаемым: (a − b)ⁿ = (a + (−b))ⁿ. При подстановке отрицательного b члены с нечётной степенью b получают минус, а с чётной — плюс. Если же слагаемые имеют числовые множители, например 2x и −y, каждый множитель тоже возводят в степень, указанную у соответствующего слагаемого. Поэтому коэффициент члена складывается из числа треугольника Паскаля и числовых множителей после их возведения в степени.

Коэффициенты и структура разложения степени бинома

Чтобы раскрыть биномиальную степень, выберите строку с нужной степенью и используйте её числа по порядку как коэффициенты. Одновременно уменьшайте степень первого слагаемого и увеличивайте степень второго. Проверьте, что крайние коэффициенты равны 1, а число членов на единицу больше степени.

Разбор задач

Разложите (a + b)³.

1. Степень бинома равна 3, поэтому берём третью строку треугольника Паскаля: 1, 3, 3, 1. Это четыре коэффициента, значит, в разложении будет четыре члена.
2. В первом члене степень a равна 3, а степень b равна 0: получаем a³. Затем степень a уменьшается, степень b увеличивается, а коэффициенты идут по выбранной строке.
3. Записываем члены по порядку: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Проверяем: в каждом члене сумма показателей равна 3.

Ответ: a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Разложите (2x − y)⁴.

1. Для четвёртой степени выбираем коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1. Вместо первого слагаемого берём 2x, а вместо второго — −y, поэтому знаки членов зависят от степени y.
2. Последовательно записываем члены: (2x)⁴; 4(2x)³(−y); 6(2x)²(−y)²; 4(2x)(−y)³; (−y)⁴. Здесь степень x убывает от 4 до 0, а степень y растёт от 0 до 4.
3. Вычисляем числовые множители: (2x)⁴ = 16x⁴, 4(2x)³(−y) = −32x³y, 6(2x)²(−y)² = 24x²y². Два последних члена равны −8xy³ и y⁴.

Ответ: 16x⁴ − 32x³y + 24x²y² − 8xy³ + y⁴.

Найдите коэффициент при x³ в разложении (x + 2)⁵.

1. Для пятой степени коэффициенты равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Степень x убывает от 5 до 0, а степень числа 2 возрастает от 0 до 5.
2. Записываем нужную часть разложения: x⁵ + 5x⁴·2 + 10x³·2² + 10x²·2³ + 5x·2⁴ + 2⁵. Член с x³ — это третий член, потому что после первых двух степень x равна 5 и 4.
3. В третьем члене числовой множитель равен 10·2² = 10·4 = 40. Значит, член с x³ имеет вид 40x³, и его коэффициент равен 40.

Ответ: 40.

Типичные ошибки

Иногда записывают только коэффициенты из треугольника Паскаля и забывают степени слагаемых. Такая ошибка возникает, если воспринимать строку как готовое разложение, хотя она задаёт только числовые множители. Проверьте, что степень первого слагаемого убывает от n до нуля, а второго возрастает от нуля до n.

Другая ошибка — ставить одинаковые степени обоим слагаемым в каждом члене. Тогда, например, вместо a²b при третьей степени могут ошибочно написать a²b². Сложите показатели в каждом члене: их сумма должна быть равна степени исходного бинома.

При разложении разности часто теряют минус или ставят его перед каждым членом. Причина в том, что не учитывают степень отрицательного второго слагаемого: чётная степень даёт положительное значение, нечётная — отрицательное. Подставляйте −b в каждый член и отдельно проверяйте знак.

Можно неверно выбрать строку Паскаля или пропустить крайние единицы. Это случается, если начинают нумеровать строки не с нулевой степени или считают коэффициенты на глаз. Сверьте номер строки со степенью бинома и посчитайте коэффициенты: их должно быть на один больше степени.

Связь с другими темами

Для понимания разложения полезно уметь перемножать многочлены: именно так получается квадрат суммы, а затем можно увидеть, откуда берутся коэффициенты следующих степеней. Также нужны формулы квадрата суммы и квадрата разности, которые помогают проверять первые разложения. Бином Ньютона продолжает эти приёмы и позволяет быстрее раскрывать скобки в более высоких степенях. По готовому разложению можно находить отдельные коэффициенты многочлена, не выписывая все вычисления заново.

Что запомнить

• Бином — сумма двух слагаемых.
• Коэффициенты разложения можно находить по треугольнику Паскаля.
• В разложении степени n содержится n + 1 член.
• Степень первого слагаемого убывает от n до нуля.
• Степень второго слагаемого возрастает от нуля до n.
• Сумма показателей степеней в каждом члене равна n.
• При разложении разности знаки членов нужно определять с учётом степени отрицательного слагаемого.