9. Бином Ньютона

Определения и обозначения

Бином — сумма двух слагаемых, возводимая в натуральную степень, например (a + b)ⁿ. Его можно раскрывать последовательным умножением, но при большой степени это становится громоздко. Формула бинома Ньютона делает такое раскрытие быстрым и упорядоченным.

Бином Ньютона — формула разложения степени бинома на сумму одночленов с биномиальными коэффициентами: (a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ. Она нужна, чтобы сразу записать всё разложение или найти только необходимую его часть. Формула работает при натуральном n.

Биномиальный коэффициент C(n, k) — число, определяющее коэффициент при соответствующем члене разложения. Он равен числу способов выбрать k множителей b из n скобок: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!). Показатель k принимает значения от 0 до n.

Общий член биномиального разложения — выражение C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. Подставляя разные значения k, можно получить любой член, не записывая остальные. Номер этого члена равен k + 1, потому что отсчёт начинается с k = 0.

Как это устроено

При раскрытии (a + b)ⁿ мы фактически перемножаем n одинаковых скобок: (a + b)(a + b)…(a + b). Из каждой скобки в произведение выбирается либо a, либо b, поэтому каждый получившийся одночлен соответствует определённому набору выборов. Например, чтобы получить aⁿ⁻ᵏbᵏ, нужно выбрать b ровно в k скобках, а a — в остальных.

В каждом произведении всего n множителей, и каждый из них даёт одну степень: либо a, либо b. Поэтому сумма показателей всегда равна n: (n − k) + k = n. При переходе к следующему члену одна из выбранных степеней a заменяется степенью b, так что показатель a уменьшается на единицу, а показатель b увеличивается на единицу.

Один и тот же вид одночлена может получиться разными способами. Чтобы получить k множителей b, нужно выбрать, в каких именно k из n скобок они появятся; число таких выборов равно C(n, k). Поэтому это число становится коэффициентом при aⁿ⁻ᵏbᵏ, а не просто показателем степени.

Биномиальные коэффициенты можно находить в треугольнике Паскаля. Внутреннее число новой строки равно сумме двух чисел над ним, потому что способы выбрать k элементов распадаются на два случая: последний элемент выбран или не выбран. Отсюда C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k), а крайние числа каждой строки равны 1.

Структура разложения бинома Ньютона

Для полного разложения используйте значения k от 0 до n. Если нужен один член или его коэффициент, достаточно обратиться к общему члену и выбрать подходящее k.

При отрицательном втором слагаемом в формулу подставляют b = −c. Тогда знак каждого члена определяется степенью отрицательного множителя.

Разбор задач

Задача 1. Разложить (x + 2)⁴

Здесь a = x, b = 2, n = 4. Для четвёртой степени коэффициенты берём из строки треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. Нужно сохранить степени x, убывающие от 4 до 0.

1. Записываем формулу: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
2. Подставляем a = x и b = 2: x⁴ + 4x³·2 + 6x²·2² + 4x·2³ + 2⁴.
3. Вычисляем числовые множители: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

Ответ: x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

Задача 2. Найти коэффициент при x³ в (2x − 1)⁵

Запишем второй член как −1 и применим общий член. В выражении C(5, k)(2x)⁵⁻ᵏ(−1)ᵏ степень x равна 5 − k. Её нужно приравнять к 3.

1. Решаем 5 − k = 3, откуда k = 2.
2. Подставляем k в общий член: C(5, 2)(2x)³(−1)².
3. Коэффициент при x³ равен 10 · 2³ · 1 = 80. Знак положительный, потому что k чётное.

Ответ: 80.

Задача 3. Найти свободный от x член в (x² + 1/x)⁹

Свободный член не содержит x, поэтому показатель x в нём должен быть равен нулю. Общий член имеет вид C(9, k)(x²)⁹⁻ᵏ(1/x)ᵏ. Сначала найдём показатель переменной, а затем вычислим оставшийся коэффициент.

1. Степень x равна 2(9 − k) − k = 18 − 3k.
2. Приравниваем её к нулю: 18 − 3k = 0, поэтому k = 6.
3. Получаем C(9, 6)(x²)³(1/x)⁶ = C(9, 6)x⁶/x⁶ = 84.

Ответ: 84.

Типичные ошибки

Записывают в коэффициентах только числа 1, 2, 3, … вместо биномиальных коэффициентов. Так происходит, когда показатель степени путают с числом способов выбрать множители. Проверьте себя по треугольнику Паскаля или формуле C(n, k).

Нарушают порядок показателей и одновременно увеличивают или уменьшают степени обоих слагаемых. Причина ошибки — механическая запись без проверки структуры члена. В каждом одночлене сумма показателей должна быть равна n.

Теряют знак минус в разложении (a − b)ⁿ. Отрицательное слагаемое нужно возводить в степень: появляется множитель (−1)ᵏ. При нечётном k знак минус, при чётном — плюс.

Неправильно находят нужный член, считая его номером само значение k. Но k = 0 соответствует первому члену, поэтому номер всегда равен k + 1. Перед вычислениями определите, требуется ли номер члена или показатель в общем члене.

Связь с другими темами

• Для бинома Ньютона нужны свойства степеней, формулы сокращённого умножения и правила раскрытия скобок. Они помогают правильно работать с показателями и множителями.

• Биномиальные коэффициенты связаны с сочетаниями из комбинаторики. Формула числа сочетаний объясняет, почему коэффициент показывает количество способов выбора множителей.

• В дальнейшем формула пригодится в теории вероятностей, при изучении производных, приближённых вычислений и разложений более сложных выражений.

Что запомнить

• Бином Ньютона раскладывает (a + b)ⁿ в сумму n + 1 членов.
• Общий член имеет вид C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ.
• В каждом члене сумма показателей степеней a и b равна n.
• Коэффициенты разложения симметричны.
• Коэффициенты можно находить по треугольнику Паскаля.
• Свободный член находят, приравнивая показатель переменной к нулю.
• У разложения (a − b)ⁿ знаки членов чередуются в зависимости от чётности показателя.