§ 1. Признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые совмещаются наложением: их вершины, стороны и углы совпадают. Это не обязательно фигуры, нарисованные одинаково или одинаково расположенные на листе. Определение нужно, чтобы после доказательства равенства переносить свойства одного треугольника на другой.

Соответствующие элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если A соответствует D, B — E, то сторона AB соответствует DE, а угол A — углу D. Такое сопоставление помогает не перепутать, какие элементы можно приравнивать.

Признак равенства треугольников — условие, по которому равенство треугольников устанавливают по отдельным равным элементам. Признак не требует заранее измерять все стороны и углы. Достаточно проверить указанную в нём комбинацию данных.

Различают первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Первый использует две стороны и угол между ними, второй — сторону и два прилежащих угла, третий — три стороны. Эти правила позволяют кратко и строго доказывать равенство фигур.

Как это устроено

У треугольника шесть основных элементов: три стороны и три угла. Но сравнивать все элементы не требуется, потому что некоторые из них однозначно задают всю фигуру. Если набор данных восстанавливает треугольник только одним способом, два треугольника с таким набором можно совместить.

Рассмотрим две равные стороны и угол между ними. Сначала можно построить одну сторону, затем отложить в её конце заданный угол и на новом луче отложить вторую сторону. Её конечная точка определяется единственным образом, поэтому третий угол и третья сторона тоже получаются одинаковыми. Так возникает первый признак: если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники равны.

Сторона и два прилежащих к ней угла также задают треугольник однозначно. На отрезке известной длины строят в его концах два заданных угла; соответствующие лучи пересекаются в единственной точке. Эта точка является третьей вершиной, поэтому получается второй признак: равенство стороны и двух углов, прилежащих к ней, гарантирует равенство треугольников.

Три стороны определяют треугольник, потому что третью вершину можно получить как пересечение двух окружностей с центрами в концах одной стороны и заданными радиусами. Возможное отражение фигуры не создаёт нового треугольника по форме: его можно перевернуть и совместить с первым. Поэтому равенство трёх соответствующих сторон приводит к третьему признаку.

В доказательстве сначала ищут элементы, которые уже равны по условию, по свойству общей стороны, вертикальных или накрест лежащих углов. Затем устанавливают соответствие вершин и выбирают подходящий признак. После вывода о равенстве треугольников можно утверждать равенство любых их соответствующих сторон и углов.

Признаки равенства треугольников

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: найдите в условии равные элементы и сравните их с нужной строкой. Для первого признака обязательно проверьте, что угол расположен между известными сторонами, а для второго — что оба угла прилегают к известной стороне.

После выбора признака запишите его применение с названиями треугольников в правильном порядке. Затем используйте равенство соответствующих элементов, если по условию требуется найти сторону или угол.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны стороны AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, а также углы A и A₁. Докажем равенство треугольников. Углы A и A₁ образованы именно теми сторонами, которые сравниваются.

1. По условию AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.
2. Также ∠A = ∠A₁, причём это углы между указанными сторонами.
3. По первому признаку △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку.

Задача 2

В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, углы A и D, углы B и E. Найдём BC, если EF = 7 см. Здесь сторона AB прилегает к углам A и B, а DE — к углам D и E.

1. Имеем AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.
2. По второму признаку △ABC = △DEF, причём A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
3. Стороне BC соответствует сторона EF, поэтому BC = EF = 7 см.

Ответ: BC = 7 см.

Задача 3

Диагональ AC делит четырёхугольник ABCD на треугольники ABC и CDA. Известно, что AB = CD и BC = AD. Докажем равенство углов BAC и DCA. Третья сторона AC является общей для обоих треугольников.

1. AB = CD и BC = AD по условию.
2. AC = CA, потому что это одна и та же сторона.
3. По третьему признаку △ABC = △CDA; вершине A соответствует C, а стороне AB — CD.
4. Следовательно, соответствующие углы BAC и DCA равны.

Ответ: ∠BAC = ∠DCA.

Типичные ошибки

Угол не между данными сторонами. Первый признак применяют, когда известны две стороны и угол при их общей вершине. Если угол относится к другой вершине, такая тройка данных не подходит. Проверьте, что обе стороны имеют вершину данного угла.

Два любых угла вместо второго признака. Ученики видят два равных угла и забывают о стороне. Во втором признаке эта сторона должна иметь общие концы с обоими углами. Мысленно выделите её концы и убедитесь, что каждый угол находится у одного из них.

Равенство по двум сторонам и углу без проверки положения. Такой набор может задавать разные треугольники, если угол расположен не между сторонами. Перед применением первого признака подпишите стороны, образующие угол.

Неверное соответствие вершин. Из-за этого равными объявляют несоответствующие стороны или углы. Составьте пары вершин по известным элементам и запишите названия треугольников в одном порядке.

Связь с другими темами

Для темы нужны знания о сторонах, углах и вершинах треугольника, равенстве отрезков и углов, а также о вертикальных и накрест лежащих углах. Эти свойства часто дают недостающие равенства для применения признака.

Дальше признаки используются при доказательстве свойств равнобедренного треугольника, параллельных прямых и геометрических построений. В сложных фигурах их применяют после разбиения фигуры на треугольники, чтобы доказать равенство отдельных отрезков и углов.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Третий признак: три стороны.
• Перед применением признака нужно правильно установить соответствие вершин.
• После доказательства равенства треугольников можно использовать равенство любых соответствующих элементов.