§ 2. Построение треугольников

Определения и обозначения

Геометрическое построение — получение фигуры с помощью инструментов по заданным условиям. В школьных задачах обычно линейкой без делений проводят прямые и лучи, а циркулем строят окружности и переносят расстояния. Эти действия позволяют точно задавать форму и размеры фигуры, а не просто рисовать её на глаз.

Построение треугольника по трём сторонам — способ получить треугольник, если известны длины всех его сторон. Для этого одну сторону берут за основу, а положение третьей вершины определяют по двум оставшимся длинам. Такой способ нужен, когда угол заранее не задан, но известны все три размера сторон.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними — способ построить треугольник по двум заданным длинам и величине угла, заключённого между этими сторонами. Сначала задают угол, затем откладывают стороны на его лучах. Это позволяет не перепутать заданный угол с другим углом треугольника.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам — способ построить фигуру по длине стороны и величинам углов при её концах. Заданная сторона становится основанием, а из её концов проводят лучи. Их пересечение определяет оставшуюся вершину.

Как это устроено

Построение начинают с отрезка или угла, который дан в условии. Начальный элемент выбирают так, чтобы остальные можно было получить по очереди, опираясь на него. Например, если заданы три стороны, удобно сначала провести самую длинную из них; если задан угол, разумно начать с его построения. Такой выбор упорядочивает действия и помогает не потерять связь между элементами условия.

При построении по трём сторонам сначала выбирают одну сторону и откладывают её на чертеже. Затем из её концов проводят окружности радиусами, равными двум другим сторонам. Третья вершина должна быть на расстоянии одной заданной стороны от одного конца и другой заданной стороны от второго. Поэтому она лежит на обеих окружностях одновременно, то есть в точке их пересечения.

Если известны две стороны и угол между ними, сперва строят именно заданный угол. На каждом его луче откладывают соответствующую сторону, начиная от вершины угла, а затем соединяют отмеченные концы. Такой порядок нужен потому, что обе стороны должны выходить из одной вершины и образовывать данный угол. Если отложить стороны на других лучах, получится фигура, не отвечающая условию.

При построении по стороне и двум прилежащим углам сначала проводят отрезок заданной длины. В его концах строят углы нужной величины так, чтобы лучи шли по одну сторону от отрезка. Третья вершина должна находиться одновременно на обоих лучах, поэтому она задаётся их пересечением. Если лучи не пересекаются, получить требуемый треугольник таким построением нельзя.

До черчения проверяют, могут ли заданные элементы образовать треугольник. Для трёх сторон сумма любых двух должна быть больше третьей: иначе стороны не замкнутся в фигуру. Для двух углов при заданной стороне их сумма должна быть меньше 180°, потому что третий угол тоже должен иметь положительную величину. Эти проверки помогают заранее понять, имеет ли задача решение.

Построение треугольника по заданным элементам

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую данным задачи, и проверьте условие существования. Затем выполните действия в столбце «С чего начать», а недостающую вершину получите указанным способом. В конце измерьте или сравните элементы построенного треугольника с условием.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Сначала проверим, могут ли эти отрезки образовать треугольник: 3 + 4 больше 5, 3 + 5 больше 4, 4 + 5 больше 3. Все три проверки проходят, поэтому можно приступать к построению.

1. Проведём отрезок AB длиной 5 см. Его концы станут двумя вершинами будущего треугольника.
2. Поставим ножку циркуля в точку A и проведём окружность радиусом 3 см. Она содержит точки, удалённые от A на нужную длину.
3. Из точки B проведём окружность радиусом 4 см. Точка пересечения окружностей C находится на расстоянии 3 см от A и 4 см от B.
4. Соединим C с A и B. Полученная фигура имеет стороны 5 см, 3 см и 4 см.

Ответ: треугольник ABC построен; его стороны равны 5 см, 3 см и 4 см.

Задача 2. Построить треугольник, если две стороны равны 4 см и 6 см, а угол между ними — 60°. Здесь сначала задают положение двух сторон относительно друг друга: это делает угол 60°. Затем концы отложенных сторон соединяют, чтобы получить третью сторону.

1. Построим угол величиной 60° с вершиной O.
2. На одном луче отложим от O отрезок OA длиной 4 см, а на другом — OB длиной 6 см. Так обе стороны образуют между собой именно заданный угол.
3. Соединим точки A и B. Отрезок AB завершает построение треугольника OAB.
4. Проверим, что OA = 4 см, OB = 6 см и угол AOB равен 60°.

Ответ: треугольник OAB построен по двум сторонам и углу между ними.

Задача 3. Построить треугольник по стороне 7 см и прилежащим к ней углам 50° и 60°; проверить существование. Сумма углов равна 50° + 60° = 110°, это меньше 180°. Значит, третий угол будет равен 70°, и лучи, проведённые внутрь соответствующей области, пересекутся.

1. Проведём отрезок AB длиной 7 см.
2. В точке A построим угол 50°, а в точке B — угол 60°. Оба луча направим по одну сторону от AB.
3. Продолжим лучи до их пересечения и обозначим точку пересечения C. Она станет третьей вершиной.
4. Соединим вершины и проверим, что заданная сторона и углы при её концах сохранены.

Ответ: такой треугольник существует и строится указанным способом.

Типичные ошибки

При построении по трём сторонам иногда выбирают неправильный радиус хотя бы для одной окружности. Тогда расстояние от найденной вершины до конца основы не совпадёт с заданной стороной. Это случается, когда стороны путают местами или забывают, от какого конца откладывают длину. Перед соединением точек проверьте, что каждый радиус соответствует нужной стороне и нужному центру.

Заданным между сторонами может быть только конкретный угол, но его иногда строят в другом месте или между другими отрезками. Так происходит, если ориентироваться лишь на числа и не проверить, какие элементы заключают угол. В результате треугольник может иметь нужные стороны, но не нужный угол между ними. Убедитесь, что обе заданные стороны начинаются в вершине построенного угла.

Некоторые начинают строить треугольник по трём сторонам, не проверив неравенство треугольника. Окружности при этом могут не пересечься, и построение не удастся, хотя ученик продолжает искать вершину. Причина — попытка выполнить чертёж до проверки данных. Сложите каждую пару длин и сравните сумму с третьей стороной.

При построении по стороне и двум углам лучи порой проводят не из концов заданного отрезка или направляют по разные стороны от него. Тогда они могут не пересечься в нужной области, либо полученная фигура не будет соответствовать условию. Ошибку легко не заметить, если сразу соединять случайные точки. Проверьте вершины построенных углов и убедитесь, что лучи выходят из концов стороны и пересекаются над ней.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь измерять и откладывать отрезки, строить углы и пользоваться линейкой с циркулем. Построение по сторонам опирается на свойство окружности: все её точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Эти навыки понадобятся при изучении равенства треугольников, когда фигуры сравнивают по заданным элементам. Они также помогают выполнять геометрические доказательства и строить другие фигуры.

Что запомнить

• Для построения по трём сторонам третью вершину находят пересечением двух окружностей.
• Угол между двумя заданными сторонами должен быть именно заключённым между ними.
• При построении по стороне и двум прилежащим углам строят лучи из концов этой стороны.
• Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей.
• Сумма двух углов при заданной стороне должна быть меньше 180°.
• После построения нужно проверить, что фигура удовлетворяет всем условиям задачи.