§ 3. Примеры доказательств

Определения и обозначения

Утверждение — предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Сумма двух чётных чисел чётна» является утверждением, а вопрос «Какое число чётное?» — нет: на него нужно ответить, но истинность у него не устанавливают. Определение тоже не утверждает, что произошло какое-то событие, а объясняет значение понятия.

Доказательство — последовательность рассуждений, показывающая, почему утверждение верно. Это не просто ответ или набор примеров: каждый существенный шаг должен опираться на определение, правило или уже известное свойство. Так читатель может проверить, что вывод действительно следует из условия.

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством. У теоремы есть условие — то, что известно или дано, — и заключение, которое требуется показать. Например, в утверждении о сумме чётных чисел условие говорит, что оба слагаемых чётные, а заключение — что их сумма чётная.

Контрпример — пример, который опровергает общее утверждение. Если в утверждении говорится, что свойство выполняется для всех подходящих случаев, достаточно найти один подходящий случай, где оно не выполняется. Контрпример полезен, когда нужно быстро проверить, не является ли предположение ложным.

Как это устроено

Чтобы начать доказательство, раздели утверждение на условие и заключение: сначала выясни, что дано, а затем — что именно нужно получить. После этого ищи определения и свойства, которые связывают эти части. Например, если дано чётное число, запись 2k помогает заменить словесное условие выражением и увидеть, как получить нужный вывод.

Преобразования помогают доказывать равенства, потому что некоторые действия сохраняют значение выражения. Если раскрыть скобки по распределительному свойству или привести подобные слагаемые, значение выражения не меняется. Поэтому можно последовательно перейти от одной записи к другой, но нужно понимать, какое правило разрешает каждый шаг. В доказательстве равенства важно получить именно требуемую запись, а не просто похожее выражение.

Для рассуждений о чётных и нечётных числах используют их определения. Чётное целое число записывают как 2k, а нечётное — как 2k + 1, где k — целое число. Подстановка такой записи позволяет вынести множитель 2 или выделить нужную форму. Если дальнейший вывод зависит от того, чётно ли k, можно рассмотреть оба случая: так ни один вариант не останется без внимания.

Общий вывод можно проверять на ложность, подставляя конкретные значения. Если нашёлся пример, который подходит под условие, но не удовлетворяет заключению, это контрпример и утверждение опровергнуто. Если же несколько выбранных примеров оказались удачными, они лишь подтверждают свойство в этих случаях: другие значения могут повести себя иначе. Поэтому примеры помогают проверять догадку, а доказательство обосновывает её в целом.

Готовое доказательство проверяют не только по последней строке. Убедись, что условие и заключение поняты правильно, все возможные случаи рассмотрены, а каждый существенный переход объяснён. Затем сравни полученный результат с тем, что требовалось доказать: иногда рассуждение верно само по себе, но отвечает на другой вопрос. Такая проверка помогает заметить пропуски и логические ошибки.

Как обосновывать утверждение

Сначала выбери строку, которая подходит к задаче, а затем используй указанный приём. В последнем столбце сформулировано, что именно должно появиться в рассуждении, чтобы вывод считался обоснованным. Если опровергаешь утверждение, обязательно проверь, что найденное значение удовлетворяет его условию.

Разбор задач

Сумма двух чётных чисел

Задача. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом. Здесь нужно не проверить пару сумм, а рассмотреть любые два чётных целых числа. Обозначим их буквами и применим определение чётности.

1. Пусть первое число равно 2m, а второе — 2n, где m и n — целые числа. Именно такой вид имеют чётные числа по определению.
2. Сложим их: 2m + 2n. Вынесем общий множитель 2 и получим 2(m + n).
3. Сумма m + n — целое число, потому что сумма целых чисел целая. Значит, результат имеет вид 2k, где k — целое число, и потому он чётный.

Ответ: сумма любых двух чётных чисел чётна. Мы получили не отдельный пример, а форму суммы для произвольных чётных чисел.

Квадрат нечётного числа

Задача. Докажите, что квадрат нечётного целого числа при делении на 8 даёт остаток 1. Запишем нечётное число как 2k + 1 и преобразуем его квадрат. Затем понадобится учесть два случая: k чётно или нечётно.

1. Возведём число в квадрат: (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. Равенства получены раскрытием скобок и вынесением общего множителя.
2. Числа k и k + 1 — соседние целые числа, поэтому одно из них чётное. Следовательно, их произведение k(k + 1) чётно, то есть равно 2r для некоторого целого r.
3. Подставим это в выражение: 4 · 2r + 1 = 8r + 1. Значит, квадрат отличается от кратного 8 на 1 и при делении на 8 имеет остаток 1.

Ответ: квадрат любого нечётного целого числа даёт остаток 1 при делении на 8. Рассуждение охватывает оба случая для k, потому что среди соседних чисел одно всегда чётное.

Квадрат суммы

Задача. Докажите, что для любых чисел a и b выполняется равенство (a + b)² = a² + 2ab + b². Чтобы обосновать равенство, раскроем квадрат суммы как произведение одинаковых множителей. Так будет видно, откуда берётся каждое слагаемое справа.

1. По определению квадрата запишем: (a + b)² = (a + b)(a + b).
2. Применим распределительное свойство умножения: (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b.
3. Используем, что a·a = a², b·b = b², а ab = ba. Тогда a·b + b·a = 2ab, и получаем a² + 2ab + b².

Ответ: (a + b)² = a² + 2ab + b². Каждый переход следует из определения квадрата или свойств умножения, поэтому равенство доказано для любых a и b.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать несколько проверенных примеров доказательством общего утверждения. Так делают, потому что примеры легко посчитать и они могут выглядеть убедительно, но они показывают только отдельные случаи. Проверь себя вопросом: объяснил ли я, почему свойство верно для любых подходящих значений?

Вторая ошибка — не объяснить переход от одной строки к другой. Иногда правило кажется очевидным, и поэтому ученик пропускает его, но читатель не может понять, откуда взялся результат. Проверяй каждое существенное преобразование: назови определение или свойство, которое его разрешает.

Третья ошибка — перепутать условие и заключение теоремы. Тогда можно начать доказывать то, что дано, или получить утверждение, которого никто не просил. Перед решением подчеркни, что известно и что требуется доказать, а в конце сравни вывод с заключением задачи.

Четвёртая ошибка — предложить контрпример, который не подходит под условие утверждения. Такой пример не опровергает исходную мысль, даже если заключение для него неверно. Сначала проверь, что значение удовлетворяет условию, и только потом — что оно нарушает заключение.

Связь с другими темами

Для доказательств о чётности и нечётности нужны определения этих понятий, а для работы с равенствами — правила действий с выражениями и свойства равенств. Поэтому полезно уверенно раскрывать скобки и преобразовывать записи. Навык доказательства пригодится при изучении тождеств, уравнений и свойств числовых выражений. Контрпримеры помогают проверять гипотезы и не путать проверку нескольких случаев с доказательством общего утверждения.

Что запомнить

• Доказательство должно обосновывать каждый существенный шаг.
• Для доказательства общего утверждения недостаточно проверить несколько примеров.
• Чётное целое число можно записать как 2k.
• Нечётное целое число можно записать как 2k + 1.
• Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного контрпримера.
• В доказательстве нужно получить именно то заключение, которое сформулировано в утверждении.