"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Площадь треугольника показывает, сколько единичных квадратов занимает эта фигура. Для её вычисления используют основание и проведённую к нему высоту: S = ah/2. Основанием можно выбрать любую сторону, но высота должна соответствовать именно ей и быть перпендикулярной. У тупоугольного треугольника высота иногда проходит вне фигуры, однако формула остаётся прежней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов занимает треугольник; её обозначают буквой S. Единичный квадрат имеет сторону, равную одной выбранной единице длины. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и вычислять часть плоскости, которую они занимают.
Основание треугольника — сторона, выбранная для рассмотрения высоты и вычисления площади. Одну и ту же сторону можно считать основанием в одной задаче, а в другой выбрать другую. Это понятие нужно потому, что каждой стороне соответствует своя высота.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Высота показывает расстояние от вершины до выбранного основания или его продолжения.
Формула площади треугольника S = ah/2 связывает площадь S с основанием a и соответствующей ему высотой h. Произведение ah сначала даёт площадь параллелограмма с таким основанием и высотой. Деление на 2 учитывает, что треугольник занимает половину этого параллелограмма.
Высота перпендикулярна основанию не случайно: только перпендикулярный отрезок задаёт кратчайшее расстояние от вершины до прямой основания. Именно это расстояние используется в формуле площади. Если взять наклонный отрезок, он будет длиннее настоящей высоты и даст неверный результат.
Треугольник можно дополнить до параллелограмма, построив рядом такой же треугольник. У них будут равные основания и равные высоты, поэтому площади двух треугольников одинаковы. Вместе они образуют параллелограмм площадью ah, значит площадь одного треугольника равна ah/2.
Основанием можно выбрать любую сторону, потому что площадь самой фигуры от выбора стороны не меняется. Меняется только пара «основание — соответствующая высота». Поэтому к стороне a нужно брать именно высоту h, опущенную перпендикулярно к прямой этой стороны.
Из формулы можно найти любую величину: S = ah/2, a = 2S/h, h = 2S/a. Перед вычислениями проверьте, что основание и высота выражены в одинаковых единицах длины. Тогда результат будет записан в квадратных единицах: например, сантиметры умножаются на сантиметры и дают см².
У тупоугольного треугольника перпендикуляр из вершины может попасть не на саму сторону, а на её продолжение. Высота всё равно считается высотой, потому что она проведена к прямой, содержащей основание, и образует с ней угол 90°. Поэтому формула S = ah/2 применяется и к тупоугольным треугольникам.
| Что известно или требуется найти | Формула | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Площадь по основанию и высоте | S = ah/2 | Высота должна соответствовать выбранному основанию. |
| Основание по площади и высоте | a = 2S/h | Умножьте площадь на 2 и разделите на высоту. |
| Высота по площади и основанию | h = 2S/a | Используйте длину именно данного основания. |
| Единицы измерения площади | см², м², дм² | Длина основания и высоты должна быть в согласованных единицах. |
Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти, а затем выберите подходящую строку. Если единицы длины разные, сначала приведите их к одной системе. После вычисления проверьте, что площадь записана в квадратных единицах.
Основание треугольника равно 8 см, а соответствующая высота — 5 см. Требуется найти площадь. Высота уже относится к данному основанию, поэтому можно сразу использовать основную формулу.
Ответ: 20 см². Квадратные сантиметры указаны потому, что сантиметры основания умножаются на сантиметры высоты.
Площадь треугольника равна 30 см², основание — 10 см. Нужно найти высоту, проведённую к этому основанию. Нельзя брать высоту к другой стороне, поскольку она может иметь другую длину.
Ответ: 6 см. Проверка показывает, что 10 · 6/2 = 30 см², значит найденная высота согласуется с условием.
В тупоугольном треугольнике основание равно 12 см, а высота к прямой, содержащей основание, — 7 см. Требуется найти площадь и объяснить положение высоты. Хотя перпендикуляр может оказаться вне треугольника, для формулы важны его длина и связь с прямой основания.
Ответ: 42 см². Высота может лежать вне треугольника, потому что она проводится к прямой, содержащей основание, а не обязательно к самому отрезку основания.
Иногда к основанию подставляют длину другой высоты. Такая ошибка возникает, когда не проверяют, к какой стороне проведён перпендикуляр. Для самопроверки назовите основание и убедитесь, что выбранная высота образует с его прямой угол 90°.
Некоторые забывают разделить произведение основания и высоты на 2. Так происходит, если площадь треугольника путают с площадью параллелограмма. Проверьте запись формулы: у треугольника обязательно есть множитель ½.
Наклонный отрезок иногда принимают за высоту. Он не подходит, потому что высота должна быть перпендикулярной основанию или его продолжению. Проведите мысленно прямой угол и только после этого используйте длину отрезка.
Площадь могут записать в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Причина ошибки — забытая проверка единиц после умножения двух длин. Если основание и высота измерены в сантиметрах, ответ должен иметь единицу см².
Для понимания формулы нужны знания о перпендикуляре, основании и высоте, а также умение находить площадь прямоугольника и параллелограмма. Именно через площадь параллелограмма объясняется множитель ½ в формуле треугольника. Без этих представлений трудно правильно выбрать высоту.
Формула площади треугольника пригодится при изучении площадей многоугольников. Она также используется в задачах на подобие треугольников и в геометрических доказательствах. Умение связывать площадь с основанием и высотой помогает находить неизвестные элементы фигур.
Почему в формуле площади треугольника произведение основания на высоту делят на два?
Треугольник можно дополнить до параллелограмма с теми же основанием и высотой. Два равных треугольника составляют такой параллелограмм, поэтому площадь одного из них равна половине произведения основания на высоту.
Можно ли выбрать основанием любую сторону треугольника?
Да, любую сторону можно принять за основание. Но тогда нужно использовать высоту, проведённую перпендикулярно к прямой, содержащей именно эту сторону.
Обязательно ли высота должна проходить внутри треугольника?
Нет. В остроугольном треугольнике высота лежит внутри, в прямоугольном может совпадать со стороной, а в тупоугольном проходит вне треугольника по продолжению основания.
Как найти высоту, если известны площадь и основание?
Из формулы S = ah/2 выразите высоту: h = 2S/a. Сначала площадь умножают на 2, затем результат делят на длину соответствующего основания.
В каких единицах записывают площадь треугольника?
Площадь записывают в квадратных единицах: см², м², дм² и других. Если основание и высота измерены в сантиметрах, результат получится в квадратных сантиметрах.
§ 4. Площадь треугольника
