§ 1. Линейные уравнения с одним неизвестным

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство с неизвестным, значение которого нужно найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Уравнения нужны, чтобы записывать и решать задачи, в которых неизвестное число связано с известными числами действиями.

Корень уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого уравнение становится верным равенством. Например, в уравнении x + 2 = 5 корень — число 3: после подстановки получается 3 + 2 = 5. Понятие корня позволяет отличать подходящее значение от тех, которые уравнение не удовлетворяют.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Например, x + 4 = 7 и x = 3 равносильны: оба уравнения имеют корень 3. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие преобразования можно выполнять при решении, не меняя ответа.

Линейное уравнение с одним неизвестным — уравнение, которое после упрощения можно записать в виде ax + b = 0, где a и b — числа. Буква a — коэффициент при неизвестном, а b — свободное слагаемое. Такой вид помогает определить способ решения и число корней уравнения.

Как это устроено

Чтобы упростить уравнение, сначала раскрывают скобки: каждое слагаемое внутри скобок умножают на число перед ними. Затем приводят подобные слагаемые — складывают или вычитают слагаемые с одинаковой буквенной частью. Это можно делать, потому что раскрытие скобок и объединение подобных слагаемых сохраняют значения обеих частей при любом x. В результате уравнение становится проще и его можно привести к виду ax + b = 0.

При «переносе» слагаемого через знак равенства меняют его знак, потому что это короткая запись равносильного действия. Если из одной части нужно убрать слагаемое, к обеим частям прибавляют противоположное ему число. Например, из x + 5 = 9 вычитают 5 и слева, и справа: x + 5 − 5 = 9 − 5, откуда x = 4. Так равенство сохраняется, а неизвестное постепенно отделяется от чисел.

Если обе части умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится и множество корней не изменится. Деление помогает оставить неизвестное без коэффициента: из 3x = 12 делят обе части на 3 и получают x = 4. Ненулевое условие обязательно, потому что деление на ноль не определено. Эти действия позволяют изолировать неизвестное, то есть получить его отдельно в одной части уравнения.

В уравнении ax + b = 0, если a ≠ 0, сначала вычитают b из обеих частей, а затем делят на a. Получается ax = −b и x = −b/a, поэтому корень единственный. Если же a = 0, неизвестное исчезает и остаётся равенство b = 0. При b = 0 оно верно при любом значении x, а при b ≠ 0 неверно, поэтому решений нет.

После решения уравнения нужно подставить найденное значение в исходную запись. Проверка именно исходного уравнения подтверждает, что преобразования не сопровождались ошибкой и число действительно подходит. Подставь значение вместо каждой буквы и отдельно вычисли левую и правую части. Если их значения совпали, ответ верен; если нет, нужно найти ошибку в решении.

Число корней уравнения ax + b = 0

Сначала проверь значение коэффициента a: если он не равен нулю, используй формулу x = −b/a. Если a = 0, неизвестное исчезает, поэтому решать нужно получившееся числовое равенство. Примеры в таблице показывают, как отличить один корень от бесконечного множества решений и отсутствия корней.

Разбор задач

Решите уравнение 3x − 12 = 0 и выполните проверку.

1. Прибавим 12 к обеим частям: 3x − 12 + 12 = 0 + 12, поэтому 3x = 12. Так убираем свободное слагаемое, не меняя корней уравнения.
2. Разделим обе части на 3: 3x/3 = 12/3, значит, x = 4. Деление допустимо, потому что 3 не равно нулю.
3. Проверим ответ в исходной записи: 3 · 4 − 12 = 12 − 12 = 0. Левая часть равна правой, следовательно, найденное значение подходит.

Ответ: x = 4.

Решите уравнение 4(x − 2) = 2x + 6.

1. Раскроем скобки: 4x − 8 = 2x + 6. Число 4 умножаем на оба слагаемых в скобках, а не только на x.
2. Вычтем 2x из обеих частей и прибавим 8 к обеим частям: 4x − 2x = 6 + 8. Получаем 2x = 14; неизвестные собраны слева, числа — справа.
3. Разделим обе части на 2: x = 7. Проверка в исходном уравнении даёт 4(7 − 2) = 20 и 2 · 7 + 6 = 20, то есть части равны.

Ответ: x = 7.

Решите уравнение 2(3x − 1) − 4x = 2(x − 1) + 5 и объясните, сколько у него корней.

1. Раскроем скобки в обеих частях: 6x − 2 − 4x = 2x − 2 + 5. При умножении на число перед скобками каждое слагаемое внутри умножается на это число.
2. Приведём подобные слагаемые: слева 6x − 4x = 2x, справа −2 + 5 = 3. Получаем 2x − 2 = 2x + 3.
3. Вычтем 2x из обеих частей: −2 = 3. Это неверное числовое равенство, поэтому исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет. Неизвестные сократились, но получилось противоречие, а значит, ни одно значение x не может сделать исходное равенство верным.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда меняют его знак, но забывают, что это сокращённая запись прибавления противоположного числа к обеим частям. Так можно потерять смысл равенства и получить неправильное решение. Проверяй перенос, записав действие с обеими частями, например вычитание одного и того же числа.

Деление обеих частей на выражение с неизвестным опасно, если заранее неизвестно, равно ли оно нулю. При делении на ноль действие не определено, а деление на выражение, которое может стать нулём, способно потерять подходящий корень. Перед делением проверь, что делитель — ненулевое число при всех допустимых значениях.

При раскрытии скобок можно умножить на число перед ними только первое слагаемое. Тогда второе слагаемое останется без нужного множителя, и дальнейшие преобразования будут неверны. Для самопроверки обведи каждое слагаемое внутри скобок и убедись, что множитель применён к каждому из них, включая знак.

Не каждое уравнение вида ax + b = 0 имеет один корень: такой вывод верен только при a ≠ 0. Если a = 0, неизвестное исчезает, и нужно отдельно проверить b. Подставь нулевое значение коэффициента в запись: равенство 0 = 0 верно при любом x, а 0x + b = 0 при b ≠ 0 решений не имеет.

Связь с другими темами

Для решения линейных уравнений нужны умения раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Без них трудно упростить запись и аккуратно перенести слагаемые. Эти навыки полезны и в других разделах алгебры.

Линейные уравнения применяют при составлении математических записей по условию задачи. Неизвестное обозначают буквой, а связь между величинами выражают равенством. Позже уравнения помогают решать системы — задачи, где нужно одновременно выполнить несколько условий.

Равносильность связана с преобразованиями уравнений: она помогает объяснить, почему очередной шаг не меняет множество корней. Если каждый шаг сохраняет корни, решение можно проверять по цепочке преобразований. Это делает рассуждение понятным и помогает находить ошибку.

Что запомнить

• Корень уравнения — значение неизвестного, превращающее равенство в верное.
• Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей сохраняет корни.
• Умножать или делить обе части уравнения можно на одно и то же ненулевое число.
• Линейное уравнение с одним неизвестным приводят к виду ax + b = 0.
• Если a ≠ 0, единственный корень равен −b/a.
• Если a = 0 и b = 0, корнем является любое число; если a = 0 и b ≠ 0, корней нет.
• Найденное значение полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.