§ 9. Линейные уравнения с одним неизвестным

Определения и обозначения

Линейное уравнение с одним неизвестным — это уравнение, которое после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых можно записать в виде ax + b = 0, где x — неизвестное, а a и b — числа. Буквы a и b называют коэффициентами: они показывают, сколько раз неизвестное входит в выражение и какое число прибавлено к нему. Такой вид помогает понять, каким способом решать уравнение.

Корень уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого получается верное равенство. Например, в уравнении 3x − 7 = 5 корнем является x = 4, потому что 3 · 4 − 7 = 5. Понятие корня нужно, чтобы точно определить, какие значения подходят уравнению.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит одно значение, иногда — любое число, а иногда ни одно. Поэтому при решении важно не только выполнить вычисления, но и проверить, сколько решений получилось.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, уравнения 3x = 12 и x = 4 равносильны. Переход к более простому равносильному уравнению позволяет решать задачу, не меняя её ответ.

Как это устроено

В уравнении могут быть скобки и несколько слагаемых, но раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых упрощают запись. При раскрытии скобок умножают каждый член внутри них, а подобные слагаемые объединяют, складывая их коэффициенты. В результате все слагаемые с x можно представить одним членом, а числа — другим, поэтому уравнение приводится к виду ax + b = 0.

Правило переноса слагаемого следует из свойства равенства: если к обеим его частям прибавить одно и то же выражение или вычесть его, равенство сохранится. Например, из x + 5 = 9 можно вычесть 5 слева и справа: x + 5 − 5 = 9 − 5. Получается x = 4; коротко это записывают как «перенести 5 вправо со знаком минус». Знак меняется именно из-за вычитания одного и того же слагаемого из обеих частей.

Чтобы получить вид ax = b, неизвестные слагаемые собирают в одной части, а числовые — в другой. Это удобно, потому что после такого шага неизвестное умножается только на коэффициент a. Например, в уравнении 2x + 3 = x + 8 можно перенести x влево, а 3 вправо: 2x − x = 8 − 3, значит x = 5. Все преобразования должны сохранять корни исходного уравнения.

Если в уравнении ax = b коэффициент a не равен нулю, обе части можно разделить на a: деление на ненулевое число сохраняет равенство и даёт x = b/a. Если же a = 0, делить нельзя: получится либо равенство 0 = 0, верное при любом x, либо неверное равенство 0 = b при b ≠ 0. Поэтому при нулевом коэффициенте сначала рассматривают эти случаи, а не применяют формулу деления.

Проверка подстановкой — это замена неизвестного найденным числом в исходном уравнении. Если после вычислений левая и правая части равны, найденное значение действительно является корнем. Проверять именно исходную запись полезно потому, что при упрощении можно допустить ошибку и получить неверный результат.

Решение уравнения ax + b = 0

Таблица показывает, как число решений зависит от коэффициентов после приведения уравнения к виду ax + b = 0. Сначала определи, равен ли нулю коэффициент a, а затем, если нужно, проверь b. Так можно выбрать результат, не деля на ноль.

Разбор задач

Решить уравнение 3x − 7 = 5.

1. Перенесём −7 в правую часть со знаком плюс: 3x = 5 + 7. Так мы оставляем неизвестное слагаемое слева.
2. Вычислим сумму: 3x = 12. Коэффициент при x равен 3, поэтому разделим обе части на 3: x = 4.
3. Проверим: 3 · 4 − 7 = 12 − 7 = 5. Получилось исходное равенство, значит решение верное.

Ответ: x = 4.

Решить уравнение 2(x − 3) = x + 4.

1. Сначала раскроем скобки: 2x − 6 = x + 4. Коэффициент 2 умножается и на x, и на −3.
2. Перенесём x влево, а −6 вправо: 2x − x = 4 + 6. Неизвестные оказались в одной части, числа — в другой.
3. Приведём подобные слагаемые: x = 10. Проверка даёт 2(10 − 3) = 14 и 10 + 4 = 14, значит обе части равны.

Ответ: x = 10.

Решить уравнение (x − 1)/3 − (2x + 1)/4 = 1/6.

1. Знаменатели равны 3, 4 и 6; их общий знаменатель — 12. Умножим на 12 обе части целиком: 4(x − 1) − 3(2x + 1) = 2.
2. Раскроем скобки, учитывая минус перед второй скобкой: 4x − 4 − 6x − 3 = 2. Приведём подобные: −2x − 7 = 2.
3. Перенесём −7 вправо: −2x = 9. Делим обе части на −2 и получаем x = −9/2.
4. Проверим в исходном уравнении: (x − 1)/3 = −11/6, а (2x + 1)/4 = −2. Их разность равна −11/6 − (−2) = 1/6, что совпадает с правой частью.

Ответ: x = −9/2.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Это происходит, если воспринимать перенос как простое перемещение, а не как вычитание или прибавление одного и того же слагаемого в обеих частях. Чтобы проверить себя, выполни преобразование подробно: например, из x + 6 = 10 вычти 6 с обеих сторон и получи x = 10 − 6.

Делить на коэффициент при неизвестном, не проверив, равен ли он нулю, нельзя. Ошибка возникает из-за привычки сразу применять правило x = b/a, но деление на ноль не определено. Сначала проверь коэффициент; если он нулевой, рассмотри, получается ли 0 = 0 или неверное числовое равенство.

При раскрытии скобок перед которыми стоит минус часто меняют знак только у первого слагаемого. Причина — легко забыть, что минус перед скобкой означает умножение каждого её члена на −1. Для самопроверки раскрой скобки по одному слагаемому: −(2x + 3) = −2x − 3, а не −2x + 3.

При умножении уравнения на общий знаменатель иногда умножают не все слагаемые. Обычно так бывает, когда множитель распределяют только по дробям, забывая о других членах или о второй части равенства. Проверь запись, умножив на общий знаменатель каждую часть уравнения целиком и убедившись, что каждый член учтён.

Связь с другими темами

Для решения линейных уравнений нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и действий с рациональными числами. Если уверенно выполнять эти действия, уравнение удаётся упростить без потери корней. При дробных коэффициентах особенно важно правильно находить общий знаменатель и умножать на него обе части.

Линейные уравнения помогают решать текстовые задачи: неизвестным обозначают искомую величину, а условие записывают в виде равенства. Умение решать такие уравнения пригодится и при изучении систем уравнений и линейных функций. В этих темах те же преобразования позволяют находить неизвестные и анализировать зависимости.

Что запомнить

• Корень уравнения — значение неизвестного, превращающее уравнение в верное равенство.
• Равносильные преобразования сохраняют множество корней уравнения.
• При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется.
• Уравнение ax + b = 0 при a ≠ 0 имеет единственный корень x = −b/a.
• Если a = 0 и b = 0, корнем является любое число.
• Если a = 0 и b ≠ 0, уравнение корней не имеет.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.