9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным

Определения и обозначения

Уравнение первой степени с одним неизвестным — равенство, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов можно записать в виде ax = b, где a и b — числа, а x — неизвестное. Первая степень означает, что неизвестное не возводится в квадрат или более высокую степень. Эта запись помогает свести разные по виду уравнения к одному простому случаю.

Корень уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если при x = 2 обе части уравнения имеют одинаковое значение, то 2 является его корнем. Это понятие позволяет отличить подходящее значение от любого другого числа.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Например, иногда подходит ровно одно число, иногда подходит любое число, а иногда ни одно. Поэтому при решении нужно выяснить не только значение неизвестного, но и все ли возможные решения найдены.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, уравнения x + 3 = 7 и x = 4 равносильны: в обоих случаях подходит только число 4. Понятие равносильности нужно, чтобы преобразовывать уравнение, не теряя его решений и не добавляя лишних.

Как это устроено

В уравнении первой степени неизвестное входит только в первой степени, поэтому после раскрытия скобок не появляются x² или другие степени x. Раскрытие скобок заменяет произведения суммами, а приведение подобных членов объединяет слагаемые с одинаковой буквенной частью. В результате все слагаемые с x можно собрать вместе, а числовые — отдельно. Именно поэтому уравнение принимает вид ax = b, хотя сначала оно может выглядеть намного сложнее.

Преобразование помогает решать уравнение, если после него сохраняются те же корни. Если прибавить одно и то же выражение к обеим частям, равенство останется верным для тех же значений x: обе части изменятся одинаково. То же происходит, когда обе части умножают или делят на одно и то же ненулевое число. Эти действия называют равносильными преобразованиями, потому что они позволяют упростить запись, не меняя ответ.

Чтобы собрать неизвестные в одной части, слагаемые с x переносят через знак равенства, а числа — в другую часть. При переносе знак меняется: например, вместо вычитания 4 из левой части можно прибавить 4 к обеим частям, и справа появится +4. Затем подобные слагаемые объединяют, чтобы получить ax = b. Такой порядок удобен, потому что неизвестное в итоге остаётся только слева, а справа — число.

Если a ≠ 0, число a можно использовать для деления обеих частей уравнения ax = b. Деление на a убирает множитель при x и оставляет x = b/a. Это значение единственное: умножение любого числа на ненулевое a даёт только одно значение результата, поэтому равенство ax = b не может иметь два разных корня.

Если a = 0, делить на коэффициент нельзя, поэтому нужно проверить b. При b ≠ 0 уравнение превращается в 0x = b: левая часть всегда равна нулю, а правая — нет, значит, равенство невозможно. При b = 0 получается 0x = 0, и равенство верно при любом x. Так исчезновение неизвестного не означает автоматически, что решений нет: решает то, какое равенство осталось.

Решение уравнения ax = b

Сначала приведите уравнение к виду ax = b, а затем определите, равен ли нулю коэффициент a. Если он ненулевой, используйте первую строку таблицы; если нулевой — проверьте b. Таблица помогает не делить на ноль и правильно отличать отсутствие корней от случая, когда подходит любое число.

Разбор задач

Решите уравнение 3x − 5 = 10.

1. Нужно оставить слагаемое с x отдельно, поэтому уберём −5 слева. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 = 10 + 5. Получаем 3x = 15.
2. Теперь x умножено на 3, а делить на 3 можно, потому что это ненулевое число. Разделим обе части на 3: x = 15/3 = 5. Это единственное возможное значение неизвестного.
3. Проверим ответ в исходном уравнении: 3 · 5 − 5 = 15 − 5 = 10. Левая часть равна правой, значит, найденное значение подходит.

Ответ: x = 5.

Решите уравнение 2(x − 3) + 4 = 3x − 5.

1. Сначала раскроем скобки: 2(x − 3) = 2x − 6. Тогда уравнение становится 2x − 6 + 4 = 3x − 5, а после приведения подобных слагаемых — 2x − 2 = 3x − 5.
2. Перенесём 2x вправо, а число −5 влево. Получим −2 + 5 = 3x − 2x, то есть 3 = x. Перенос меняет знак, потому что соответствующее слагаемое прибавляется к обеим частям.
3. Подставим x = 3 в исходное уравнение. Слева: 2(3 − 3) + 4 = 4; справа: 3 · 3 − 5 = 4. Части равны, поэтому решение верно.

Ответ: x = 3.

Определите число корней уравнения 4(x + 2) − 3x = x + 8.

1. Раскроем скобки слева: 4x + 8 − 3x = x + 8. Приведём подобные слагаемые, получим x + 8 = x + 8. Неизвестные в обеих частях совпали.
2. Вычтем x из обеих частей, а затем вычтем 8. Получится 0 = 0, то есть верное числовое равенство. Оно не ограничивает значение неизвестного.
3. Значит, исходное равенство верно при любом x. Например, подстановка любого числа даст одинаковые значения слева и справа, поэтому корней бесконечно много.

Ответ: бесконечно много корней, подходит любое число.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда оставляют его знак прежним. Это происходит, когда переносят механически, забывая, что действие выполняется над обеими частями уравнения. Проверяйте перенос обратным действием: если слагаемое убирают сложением, в другой части оно должно появиться с противоположным знаком. Например, −5 слева превращается в +5 справа.

Другая ошибка — умножить или разделить только одну часть. Тогда равенство меняется, и найденное уравнение может оказаться неравносильным исходному. При каждом таком действии мысленно проверьте, что оно выполнено с обеими частями. Удобно записывать действие сразу по обе стороны знака равенства.

Нельзя делить на коэффициент при x, пока не проверено, что он ненулевой. Эту ошибку допускают, когда применяют правило x = b/a автоматически, не рассмотрев случай a = 0. Сначала упростите уравнение и посмотрите на коэффициент. Если он равен нулю, сравните с нулём b и определите, невозможно ли равенство или подходит любое число.

Найденный ответ иногда записывают, не подставляя его в исходное уравнение. Из-за ошибки в раскрытии скобок или вычислениях тогда можно получить неверный результат. Подставьте число именно в исходную запись и вычислите левую и правую части отдельно. Если значения совпали, подстановка подтверждает, что число является корнем.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Эти навыки превращают длинную запись в простое уравнение ax = b. Уравнения первой степени применяют в текстовых задачах: неизвестное обозначает искомую величину, а условие задачи задаёт равенство. Позже равносильные преобразования и работа с неизвестными понадобятся при изучении более сложных уравнений и систем уравнений.

Что запомнить

• Корень уравнения превращает его в верное равенство.
• При решении уравнения выполняют равносильные преобразования.
• Уравнение первой степени с одним неизвестным приводят к виду ax = b.
• Если a ≠ 0, уравнение ax = b имеет единственный корень x = b/a.
• Если a = 0 и b ≠ 0, уравнение корней не имеет.
• Если a = 0 и b = 0, корнем является любое число.
• Подстановкой можно проверить, является ли найденное число корнем.