"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Линейное уравнение с одним неизвестным — равенство, в котором неизвестное входит в первой степени. Решить его — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно. Обычно слагаемые переносят и приводят подобные, чтобы получить уравнение ax = b. Если a не равно нулю, корень один; если a равно нулю, уравнение может не иметь решений или быть верным при любом значении неизвестного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с одним неизвестным — уравнение вида ax + b = 0, где x — неизвестное, а a и b — заданные числа. Неизвестное здесь встречается только в первой степени. Такая запись помогает узнать общий способ решения разных уравнений.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Например, если при подстановке вместо x обе части оказываются равны, это значение подходит. Поиск корня и есть цель решения уравнения.
Коэффициент при неизвестном и свободный член — числа a и b в записи ax + b = 0. Коэффициент умножается на неизвестное, а свободный член не содержит его. Это различие нужно, чтобы правильно собрать слагаемые и понять, на какое число можно делить.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если у двух уравнений совпадают все подходящие значения x, решение одного можно использовать как решение другого. При преобразованиях важно сохранять именно это множество.
Чтобы решить уравнение, его обычно приводят к виду ax = b. Для этого слагаемые с неизвестным собирают в одной части, а числа — в другой, затем приводят подобные слагаемые, то есть заменяют их одним слагаемым. При переносе знак меняется не по особому правилу, а потому, что к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Например, из x − 5 = 2 получается x = 2 + 5.
Прибавление или вычитание одного и того же выражения из обеих частей сохраняет корни, потому что равенство остаётся равенством. Если две величины равны, то после прибавления к каждой одинаковой величины они по-прежнему равны. Вычитание тоже можно рассматривать как прибавление противоположного числа. Поэтому такое действие позволяет менять вид уравнения, не меняя его решения.
Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число также даёт равносильное уравнение. Равенство сохраняется, потому что одинаковое действие выполняется с обеими его частями. Число должно быть ненулевым: деление на ноль не определено, а умножение на ноль может уничтожить информацию о корнях. Поэтому перед делением проверяют, что делитель не равен нулю.
После преобразований получается ax = b, и число корней зависит от коэффициента a. Если a ≠ 0, обе части можно разделить на a, поэтому единственный корень равен x = b/a. Если a = 0, неизвестное исчезает: при b ≠ 0 выходит неверное равенство 0 = b, а при b = 0 — верное 0 = 0. В первом случае корней нет, во втором подходит любое число.
Найденное значение подставляют в исходное уравнение, чтобы проверить решение. Вычисления при преобразованиях легко перепутать, а проверка показывает, верно ли равенство именно в начальном условии. Подстановка в последнюю строку не всегда обнаружит ошибку, если она появилась раньше и была перенесена дальше. Поэтому сравнивают значения обеих частей исходного уравнения.
Сначала приведи уравнение к виду ax = b, затем определи, равен ли нулю коэффициент a. Сверь значения a и b с таблицей, чтобы понять не только способ решения, но и число корней.
| Условие | Вид уравнения | Решение | Количество корней |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | ax = b | x = b/a | Один |
| a = 0, b ≠ 0 | 0x = b, то есть 0 = b | Корней нет | Ни одного |
| a = 0, b = 0 | 0x = 0, то есть 0 = 0 | Подходит любое x | Бесконечно много |
В первых двух случаях ответ определяется сразу после сравнения коэффициентов и свободного члена. Если a = 0, не дели на a: проверь, верно ли оставшееся числовое равенство. Так можно отличить отсутствие корней от ситуации, когда корнем является любое число.
Решить уравнение 5x − 8 = 17. Здесь неизвестное уже отделено от скобок, поэтому сначала нужно убрать свободный член слева, а потом разделить на коэффициент при x. Выполним одинаковые действия с обеими частями, чтобы сохранить равенство.
Ответ: x = 5. Проверка подтвердила, что найденное значение подходит исходному уравнению.
Решить уравнение 3(2x − 5) = 4x + 7. Сначала раскроем скобки, чтобы убрать умножение на скобочное выражение. Затем соберём неизвестные слева, а числа справа: так станет видно, какой коэффициент стоит при x.
Ответ: x = 11. Обе части исходного уравнения при подстановке дают 51, значит корень найден верно.
Решить уравнение (2x − 1)/3 − (x + 4)/2 = 5. В уравнении есть дроби, поэтому удобнее умножить обе части на общий знаменатель 6: знаменатели 3 и 2 сократятся. После этого останется обычное линейное уравнение.
Ответ: x = 44. Общий знаменатель выбран так, чтобы он делился на каждый знаменатель дробей и уравнение стало проще.
При переносе слагаемого иногда оставляют его знак прежним, потому что воспринимают перенос как простое переписывание. Но на самом деле к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое, поэтому знак меняется. Проверь себя, выполнив это действие явно: из x − 6 = 4 после прибавления 6 получится x = 4 + 6.
Если разделить только одну часть уравнения на коэффициент, равенство нарушится. Такую ошибку допускают, когда торопятся выполнить действие с выражением, не замечая, что уравнение состоит из двух равных частей. Записывай действие над обеими частями или сразу дели уравнение целиком: из 3x = 12 следует x = 12/3, а не 3x = 12/3.
Нельзя делить на коэффициент, который может быть равен нулю. Ошибка появляется, когда сразу применяют правило x = b/a, не проверив значение a. Сначала рассмотри случай a = 0: из 0x = 5 решений нет, а из 0x = 0 подходит любое число.
Если не проверить ответ в исходном уравнении, можно не заметить арифметическую ошибку или потерю решения при преобразовании. Часто проверяют только последнюю строку, хотя ошибка могла возникнуть раньше. Подставь найденное значение в начальную запись и вычисли отдельно левую и правую части: они должны быть равны.
Для решения линейных уравнений нужны свойства равенств: они объясняют, почему допустимо выполнять одинаковые действия с обеими частями. Также пригодятся раскрытие скобок, перенос слагаемых и приведение подобных. Эти навыки позволяют привести разные записи к простому виду ax = b.
В текстовых задачах уравнение помогает обозначить неизвестное число буквой и записать условие коротко. После решения найденное значение проверяют по смыслу задачи. Поэтому умение решать уравнения связывает вычисления с поиском ответа в практических ситуациях.
Линейные уравнения нужны и в следующих темах: с их помощью находят решения систем и разбирают неравенства. Они также связаны с линейными функциями, где рассматривают зависимость одной величины от другой. Уверенное решение уравнений облегчает работу со всеми этими объектами.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись: к обеим частям уравнения прибавляют противоположное слагаемое. Например, чтобы убрать −8 слева, к обеим частям прибавляют 8. Так равенство сохраняется, а знак слагаемого в новой записи меняется.
Можно ли делить обе части уравнения на неизвестное?
Обычно нельзя: неизвестное может оказаться равным нулю, а делить на ноль нельзя. Кроме того, такое деление может потерять корень. Сначала перенеси слагаемые и реши, какие значения неизвестного возможны.
Что делать, если коэффициент при неизвестном равен нулю?
После приведения уравнения к виду ax = b подставь a = 0. Если b не равно нулю, получится неверное равенство 0 = b и корней нет; если b = 0, равенство верно при любом x.
Почему после раскрытия скобок иногда получается уравнение без неизвестного?
Слагаемые с неизвестным могут сократиться, если при приведении подобных их коэффициенты взаимно уничтожаются. Тогда остаётся равенство только с числами. Оно либо верно при любом значении неизвестного, либо неверно при любом значении.
Зачем проверять найденный корень в исходном уравнении?
Проверка показывает, действительно ли найденное значение превращает исходное равенство в верное. Она помогает обнаружить ошибку в вычислениях или преобразованиях. Подставляй ответ именно в исходное уравнение, а не только в последнюю строку решения.
9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным
