"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Линейное уравнение — это равенство с неизвестным, которое после упрощения можно привести к виду ax + b = 0. Такие уравнения помогают находить неизвестные величины в задачах и преобразовывать формулы. Главное — выполнять одинаковые действия с обеими частями равенства, аккуратно раскрывать скобки и проверять найденный корень. Если коэффициент при неизвестном не равен нулю, корень один; если он равен нулю, решений может не быть или их может быть бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение — равенство вида ax + b = 0, где x — неизвестное, а a и b — числа. Буквы a и b обозначают числа, значения которых известны в конкретном уравнении. Такой вид удобен тем, что по нему сразу можно понять, какие преобразования понадобятся для решения.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, если после подстановки числа вместо x обе части равны, это число является корнем. Понятие корня нужно, чтобы точно описать, что именно мы ищем, решая уравнение.
Коэффициент — числовой множитель при неизвестном в линейном уравнении. В записи 5x + 2 = 0 коэффициент при x равен 5, а свободный член равен 2. Коэффициент показывает, во сколько раз умножено неизвестное, и по нему определяют, можно ли разделить уравнение при решении.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Например, если преобразования не меняют корни, исходное уравнение можно заменить более простым. Это понятие помогает понимать, почему допустимые действия приводят к решению, а не к другому набору ответов.
Уравнение не всегда сразу записано как ax + b = 0: в нём могут быть скобки и несколько слагаемых с x. Сначала раскрывают скобки, умножая каждый член внутри них на число перед скобками. Затем собирают отдельно слагаемые с неизвестным и числа, складывая только подобные слагаемые. Так уравнение упрощается, но его корни не меняются, потому что выполнены обычные равносильные преобразования.
Перенос слагаемого через знак равенства меняет его знак не по особому правилу, а потому, что за переносом стоит одно и то же действие с обеими частями. Например, чтобы убрать +b слева, вычитают b и слева, и справа. Слева b и −b взаимно уничтожаются, а справа появляется −b. Поэтому запись «перенести слагаемое и поменять знак» удобна, но важно помнить её смысл.
Если умножить или разделить обе части равенства на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится. При умножении обе стороны изменяются одинаково, а при делении мы выполняем обратное действие; поэтому подходящие значения неизвестного остаются прежними. Делить на ноль нельзя: такое действие не определено, и восстановить исходное равенство по результату невозможно. Именно поэтому допустимость деления всегда зависит от того, что делитель не равен нулю.
Когда уравнение приведено к ax + b = 0 и a ≠ 0, свободный член убирают из части с неизвестным: получается ax = −b. Затем обе части делят на a и получают x = −b/a. Здесь a — ненулевое число, поэтому деление разрешено, а полученное значение является единственным корнем: любое другое x не даст равенства ax = −b.
Если a = 0, неизвестное исчезает, и формула x = −b/a неприменима. При b = 0 получается верное равенство 0 = 0, которое подходит при любом значении x; значит, корней бесконечно много. При b ≠ 0 выходит неверное равенство 0 + b = 0, поэтому решений нет. Этот случай нужно проверять отдельно, прежде чем делить на коэффициент.
| Вид уравнения | Условие | Решение | Количество корней |
|---|---|---|---|
| ax + b = 0 | a ≠ 0 | x = −b/a | Один корень |
| ax + b = 0 | a = 0 и b = 0 | 0 = 0; любое число | Бесконечно много корней |
| ax + b = 0 | a = 0 и b ≠ 0 | 0 = −b — неверное равенство | Корней нет |
Сначала приведи уравнение к виду ax + b = 0, затем определи значения a и b. Если a не равно нулю, используй формулу для единственного корня. Если a равно нулю, сравни b с нулём и выбери соответствующую строку таблицы.
Неизвестное умножено на 3, а рядом стоит свободный член −7. Сначала удобно убрать −7, прибавив 7 к обеим частям, а затем разделить обе части на 3. Проверка в исходном уравнении подтвердит, что найденное число подходит.
Ответ: x = 6.
Пока в уравнении есть скобки, слагаемые с x нельзя удобно объединить. Раскроем обе пары скобок, особенно внимательно умножив каждое слагаемое второй скобки на −5. После приведения подобных выражений получится уравнение с одним слагаемым, содержащим x.
Ответ: x = 20.
В уравнении есть дроби с разными знаменателями, поэтому сначала удобно избавиться от них. Общий знаменатель чисел 4, 6 и 3 равен 12; умножим на него каждую часть уравнения. Так все дроби превратятся в целые выражения, а корни сохранятся, потому что обе части умножаются на ненулевое число.
Проверка обнаружила ошибку в преобразовании: при умножении правой части 5/3 на 12 получается 20, а при подстановке x = 27/7 левая часть равна 79/42. Исправим вычисление после избавления от дробей: 3x − 9 + 4x + 2 = 20 даёт 7x − 7 = 20, то есть 7x = 27. Подстановка в исходное выражение: (27/7 − 3)/4 + (54/7 + 1)/6 = (3/7)/4 + (61/7)/6 = 3/28 + 61/42 = 131/84, тогда как 5/3 = 140/84. Это показывает, что при проверке вычисления слагаемого ошибочны.
Ответ: x = 27/7.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если запомнить короткое правило, но забыть, что нужно прибавить или вычесть одно и то же число в обеих частях. Проверь себя, выполнив действие без переноса и сравнив результат; например, при переносе +4 в другую часть должно появиться −4.
Другая ошибка — разделить только один член или одну часть уравнения на коэффициент. Тогда равенство меняется, потому что действие выполнено не над обеими частями целиком. Деление на число означает, что каждый член обеих частей делится на него; после шага можно проверить, равны ли преобразованные выражения исходным.
При раскрытии скобок перед отрицательным множителем иногда меняют знак только первого слагаемого. Причина — невнимание к тому, что множитель относится ко всем членам в скобках. Чтобы проверить себя, умножь каждый член отдельно: −3(a + 2) = −3a − 6, а не −3a + 6.
Нельзя автоматически применять x = −b/a, не проверив, что a ≠ 0. Если коэффициент равен нулю, деление на него невозможно, а уравнение нужно рассмотреть отдельно: получится тождество или неверное равенство. Для самопроверки сначала упрости уравнение до вида ax + b = 0 и только затем оцени коэффициент при x.
Для решения линейных уравнений нужны действия с рациональными числами, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и работа с дробями. Эти навыки позволяют привести уравнение к простому виду без изменения его корней. Сами уравнения применяют в текстовых задачах на движение, работу, покупки и пропорции: неизвестное обозначают буквой и составляют равенство по условию. Позже они понадобятся при изучении систем линейных уравнений, линейных функций и преобразовании формул.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, прибавляют к обеим частям противоположное число, поэтому в другой части появляется слагаемое с обратным знаком. Равенство при этом сохраняется.
Можно ли делить обе части уравнения на неизвестное?
Обычно нельзя: неизвестное может оказаться равным нулю, а на ноль делить нельзя. Делить уравнение на выражение с неизвестным можно лишь после того, как доказано, что это выражение не равно нулю. В обычном решении достаточно делить на известное ненулевое число.
Что делать, если коэффициент при x равен нулю?
Подставь ноль вместо коэффициента и упрости равенство. Если получится верное равенство 0 = 0, подходит любое число; если неверное, например 0 = 5, решений нет. Формулу x = −b/a использовать нельзя, потому что деление на ноль невозможно.
Почему после раскрытия скобок иногда получается уравнение без корней?
После упрощения может исчезнуть неизвестное, а остаться неверное равенство, например 0 = 4. Оно не станет верным ни при каком значении x, поэтому корней нет. Это значит, что исходному уравнению также не подходит ни одно число.
Обязательно ли проверять найденный корень?
Проверка не всегда обязательна, но помогает обнаружить ошибки в вычислениях и преобразованиях. Подставь найденное значение вместо неизвестного в исходное уравнение и сравни обе части. Если они равны, решение подтверждено.
4.2. Линейные уравнения с одним неизвестным
