"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Уравнение с одним неизвестным — равенство, в котором есть число, значение которого нужно найти. Это значение называют корнем: оно превращает равенство в верное. Решить уравнение — значит найти все такие значения или доказать, что их нет. Подстановка помогает проверить ответ, а равносильные преобразования позволяют менять вид уравнения, не меняя его корней. У уравнения может быть один корень, несколько корней или ни одного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с одним неизвестным — равенство, содержащее неизвестное число, значение которого требуется найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. В отличие от обычного числового равенства, верность уравнения зависит от того, какое число поставить вместо этой буквы.
Корень уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство. Например, в уравнении x + 5 = 12 числу 7 соответствует верное равенство 7 + 5 = 12. Понятие корня помогает точно указать, какие значения подходят.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Недостаточно обнаружить одно подходящее значение: могут существовать и другие. Поэтому решение должно описывать весь набор подходящих чисел.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни. Их используют, чтобы заменить исходное уравнение более простым, не изменив ответа. Сравнивать такие уравнения нужно именно по корням, а не по внешнему виду.
Числовое равенство, например 4 + 3 = 7, уже можно проверить: его части имеют конкретные значения. В уравнении, например x + 3 = 7, одна часть зависит от неизвестного числа. При x = 4 равенство верно, а при x = 2 получается 5 = 7, поэтому оно неверно. Именно зависимость от неизвестного отличает уравнение от числового равенства.
Предполагаемый корень проверяют подстановкой в исходное уравнение. Букву заменяют выбранным числом и вычисляют обе части, соблюдая порядок действий. Если значения частей равны, число подходит; если не равны, оно не является корнем. Такая проверка надёжна, потому что непосредственно проверяет определение корня.
Проверить одно значение — не то же самое, что решить уравнение. Подстановка показывает лишь, подходит ли конкретное число, но сама по себе не доказывает, что других корней нет. Чтобы решить уравнение, нужно получить все значения, при которых равенство верно, либо обосновать отсутствие таких значений.
В зависимости от условий уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь их вовсе. Например, x + 2 = 5 имеет один корень: x = 3. Равенство x² = 4 имеет два корня: 2 и −2, а x + 1 = x не имеет корней, потому что после сокращения получилось бы неверное равенство 1 = 0. Бывает и так, что уравнение верно при любом значении неизвестного.
При решении удобно переходить от исходного уравнения к более простому, но важно сохранить его корни. Если новое уравнение равносильно исходному, множества их корней совпадают. Тогда можно решать простую запись и быть уверенным, что найденный ответ подходит исходной задаче. После преобразований полезно сделать проверку подстановкой.
В таблице собраны основные понятия и ситуации. Сначала определите, что именно описывает строка, а затем сравните объяснение с примером. Примеры показывают, как отличить один корень от отсутствия решений и от случая, когда подходит любое число.
| Понятие или ситуация | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Уравнение с одним неизвестным | Равенство с неизвестным числом, которое нужно найти | x + 5 = 12 |
| Корень уравнения | Значение, при котором равенство верно | В x + 5 = 12 корень — 7 |
| Проверка корня | Подстановка числа в исходное уравнение | 7 + 5 = 12 |
| Уравнение с одним корнем | Подходит ровно одно значение неизвестного | x + 2 = 5; корень — 3 |
| Уравнение без корней | Нет значения неизвестного, при котором равенство верно | x + 1 = x |
| Уравнение с любым значением неизвестного в качестве корня | Равенство верно при каждом значении неизвестного | 2(x + 3) = 2x + 6 |
Решить уравнение x + 5 = 12 и проверить полученное значение. Нужно найти число, которое вместе с 5 даёт 12, а затем удостовериться, что оно подходит именно исходному равенству.
Ответ: x = 7.
Решить уравнение 3x − 4 = 11, выполнив равносильные преобразования. Сначала удобно убрать число, которое вычитается из выражения с неизвестным, а потом избавиться от умножения на 3. Каждый шаг выполняем одинаково с обеими частями, чтобы сохранить корень.
Ответ: x = 5.
Определить множество корней уравнения 2(x + 3) = 2x + 6. Здесь нужно не просто найти одно значение, а выяснить, при каких значениях верно равенство. Для этого раскроем скобки и сравним получившиеся части.
Ответ: любое значение x.
Считать корнем число, не подставив его в исходное уравнение, — рискованно: при преобразованиях могла появиться вычислительная ошибка. Такое число кажется подходящим по промежуточным записям, но этого недостаточно. Проверьте себя, подставив ответ именно в исходную запись и сравнив её части.
Записать только один найденный корень — значит не ответить на вопрос о всех решениях. Так поступают, когда проверяют одно удобное число и останавливаются. Убедитесь, что преобразования привели к полному решению, а найденное значение — единственное или не единственное.
Предполагать, что у каждого уравнения обязательно есть корень, неверно: некоторые равенства не становятся верными ни при каком значении неизвестного. Это заблуждение возникает из-за привычки искать ответ, даже когда решений нет. Если после упрощения получилось противоречие, например 1 = 0, корней нет.
Одинаковый внешний вид не доказывает равносильность уравнений, а разные записи сами по себе не означают, что корни различаются. Ошибка возникает, если сравнивать только буквы и числа, а не решения. Проверьте множества корней: они должны совпадать, иначе уравнения не равносильны.
Для работы с уравнениями нужны навыки арифметических действий: придётся складывать, вычитать, умножать и делить числа. Также нужно уметь подставлять число вместо буквы и вычислять полученное выражение по порядку. Эти действия помогают как решать уравнение, так и проверять ответ.
Корни и равносильность понадобятся при изучении линейных уравнений и уравнений, где сначала приходится преобразовывать выражения. Идея остаётся прежней: упрощать запись так, чтобы не потерять подходящие значения. Проверка подстановкой помогает убедиться, что решение подходит исходному уравнению.
Как понять, что число является корнем уравнения?
Подставь это число вместо неизвестного во все места, где она встречается. Если после вычислений получится верное равенство, число является корнем.
Как проверить найденный корень?
Подставь найденное значение в исходное уравнение, а затем отдельно вычисли обе его части. Корень найден верно, если значения частей совпали.
Может ли уравнение не иметь корней?
Да. Например, равенство x + 1 = x не станет верным ни при каком числе x: после сокращения неизвестных получилось бы 1 = 0.
Может ли любое число быть корнем одного уравнения?
Да. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 после раскрытия скобок превращается в верное равенство 2x + 6 = 2x + 6. Значит, подходит любое значение x.
Почему при решении уравнения важно сохранять его корни?
Если преобразование меняет множество корней, то можно потерять подходящее значение или добавить лишнее. Равносильные преобразования сохраняют все корни, поэтому с ними ответ исходного уравнения не меняется.
4.1. Уравнение с одним неизвестным и его корни
