"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Линейное уравнение помогает найти неизвестное число, используя равенства и знакомые арифметические действия. Чтобы решить его, раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и преобразуют уравнение к виду ax = b. Если a не равно нулю, уравнение имеет один корень; если a равно нулю, корней может не быть или их окажется бесконечно много. Проверка подстановкой помогает убедиться в ответе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, например x + 4 = 9. Его истинность зависит от того, какое значение мы подставим вместо неизвестного: при одном значении равенство может быть верным, а при другом — нет. Понятие уравнения нужно, чтобы записывать задачи, в которых требуется найти неизвестное число.
Линейное уравнение с одним неизвестным — уравнение, которое после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых можно записать в виде ax = b. Здесь x — неизвестное, а a и b — числа; a называют коэффициентом при неизвестном. Такая форма помогает быстро определить, сколько решений имеет уравнение.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Например, число 3 — корень уравнения x + 2 = 5, потому что после подстановки получается 3 + 2 = 5. Поиск корня и есть цель решения уравнения.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: оба уравнения имеют корень 5. Это понятие позволяет упрощать исходную запись, не теряя её решений.
Уравнение приводят к виду ax = b, чтобы неизвестное оказалось отдельно от чисел и стало видно, какое действие нужно выполнить для его нахождения. Сначала раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, то есть складывают слагаемые одного вида. Затем слагаемые с неизвестным собирают в одной части равенства, а числа — в другой. Так сложная запись шаг за шагом становится проще.
Преобразования должны сохранять корни, иначе можно случайно изменить ответ. Если к обеим частям равенства прибавить одно и то же число, равенство останется верным для тех же значений неизвестного. То же происходит, когда обе части умножают или делят на одно и то же ненулевое число. Такие действия дают равносильное уравнение.
Чтобы решить уравнение ax = b при a ≠ 0, делят обе части на a. Это можно сделать, потому что коэффициент не равен нулю, а деление на ненулевое число сохраняет равносильность. В результате неизвестное остаётся одно: x = b/a. Значит, уравнение имеет ровно один корень.
Если a = 0, уравнение ax = b превращается в 0 · x = b, и результат зависит от числа b. При b ≠ 0 равенство невозможно: ноль, умноженный на любое число, не может дать ненулевое число. При b = 0 получается 0 · x = 0, что верно при любом x. Поэтому в этом случае решением будет любое число.
После нахождения корня полезно выполнить проверку, подставив его в исходное уравнение. Подстановка показывает, превращается ли левая и правая части в одинаковые числа. Если равенство выполняется, ответ подходит; если нет, в вычислениях или преобразованиях есть ошибка. Проверка особенно помогает заметить неверный знак или пропущенное действие.
| Условие | Полученное равенство | Число корней | Вывод |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | x = b/a | Один | Уравнение имеет единственный корень |
| a = 0, b ≠ 0 | 0 · x = b | Ни одного | Уравнение не имеет корней |
| a = 0, b = 0 | 0 · x = 0 | Бесконечно много | Подходит любое значение x |
Сначала определите, чему равны коэффициенты a и b, а затем найдите подходящую строку таблицы. Если a не равно нулю, вычислите корень по формуле x = b/a. Если a равно нулю, сравните b с нулём: это покажет, невозможно равенство или оно верно при любом x.
Нужно оставить слагаемое с неизвестным в одной части, а числа — в другой. Сначала избавимся от −7, прибавив 7 к обеим частям; затем разделим на коэффициент при x. Каждый шаг выполняем с обеими частями, чтобы сохранить равенство.
Ответ: x = 5.
В левой части есть скобки, поэтому сначала раскроем их. Затем соберём слагаемые с x слева, а числа справа: так неизвестное можно будет найти одним делением. При переносе слагаемого меняем его знак, потому что прибавляем к обеим частям противоположное слагаемое.
Ответ: x = 11.
Чтобы узнать число корней, приведём уравнение к виду ax = b. Раскроем скобки и сложим подобные слагаемые: слагаемые с x могут сократиться. Тогда останется равенство только с числами, и по нему станет понятно, есть ли решения.
Ответ: корней нет.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если воспринимать перенос как простое перемещение, а не как прибавление противоположного слагаемого к обеим частям. Проверяйте себя: запишите действие с обеими частями равенства и убедитесь, что знак слагаемого изменился.
Другая ошибка — разделить на коэффициент только один член или одну часть равенства. Тогда равенство перестаёт быть равенством, а корни могут измениться. При делении на коэффициент разделяйте на него всю левую и всю правую части. После этого можно проверить результат подстановкой в исходное уравнение.
Нельзя делить на выражение с неизвестным, не выяснив, может ли оно обратиться в ноль. Деление допустимо только на ненулевое число; если делитель может быть нулём, можно потерять возможный корень или получить неверное преобразование. Перед таким действием найдите значения, при которых делитель равен нулю, и не делите на него без проверки.
Уравнение без неизвестного не обязательно означает, что решений нет. Например, после сокращения неизвестного может получиться 0 = 0 — это верное равенство при любом значении x. Ошибаются, когда любое уравнение такого вида считают противоречивым. Проверьте, что получилось: неверное равенство вроде 4 = 3 означает отсутствие корней, а 0 = 0 — подходит любое число.
Для решения линейных уравнений нужны навыки, которые изучают раньше: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и действия с отрицательными числами. Если эти действия выполняются уверенно, проще преобразовать уравнение и избежать ошибок со знаками. Если вычисления вызывают затруднение, полезно отдельно проверить каждый такой шаг.
Линейные уравнения используют при решении текстовых задач: условие переводят на язык равенств, находят неизвестное и объясняют, что означает ответ. Тот же способ преобразований пригодится при изучении систем уравнений, где требуется найти значения нескольких неизвестных. Поэтому умение решать уравнение — основа для дальнейших тем алгебры.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Например, для уравнения x + 2 = 5 корень — число 3.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают само по себе: к обеим частям уравнения прибавляют противоположное ему слагаемое. Поэтому в новой записи его знак меняется, а равенство и его корни сохраняются.
Можно ли делить обе части уравнения на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя. Деление сохраняет равносильность уравнения только тогда, когда делитель не равен нулю.
Сколько корней может иметь линейное уравнение?
После преобразований уравнение вида ax = b может иметь один корень, не иметь корней или иметь бесконечно много корней. Это зависит от значений a и b.
Что означает, что уравнение не имеет корней?
Это означает, что не существует такого значения неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, уравнение 0 · x = 3 невозможно, потому что произведение нуля на любое число равно нулю.
9.3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным
