9.4. Решение задач с помощью линейных уравнений

Определения и обозначения

Линейное уравнение — уравнение, которое получают при описании неизвестной величины и приводят к виду ax + b = 0. Здесь x — неизвестное число, а a и b — известные числа. Такое уравнение позволяет найти неизвестную величину из условия задачи. Например, равенство 2(x + 5) = 46 после раскрытия скобок можно привести к этому виду.

Математическая модель — запись условия задачи с помощью обозначений, равенств и уравнения. Иными словами, слова о величинах и их связях заменяют математическими выражениями. Модель помогает увидеть, какое действие связывает данные задачи. По ней можно найти неизвестное и проверить, соответствует ли результат исходному условию.

Составление уравнения — перевод известной связи между величинами из условия задачи на язык алгебры. Для этого выбирают букву, записывают через неё связанные величины и используют главное условие. Например, равенство «сумма двух расстояний равна расстоянию между посёлками» становится уравнением. Оно соединяет данные задачи и искомое число.

Проверка решения — подстановка найденного значения в условие и оценка того, подходит ли ответ смыслу задачи. Проверяют не только вычисления, но и сам результат: масса, длина или время не должны быть отрицательными. Такая проверка помогает заметить ошибку в уравнении или решении. После неё записывают ответ с названием величины и единицами измерения.

Как это устроено

Неизвестную величину обозначают буквой, потому что её значение заранее не известно, но оно участвует в связях, описанных в задаче. Буква позволяет записывать эти связи коротко и выполнять с неизвестным обычные действия. Часто за x удобно взять именно то, о чём спрашивают: тогда найденный корень сразу будет ответом. Но можно выбрать и другую величину, если через неё условие записывается проще; тогда в конце потребуется пересчитать результат.

Когда одна величина зависит от другой, её выражают через выбранное неизвестное. Если длина на 5 см больше ширины x, то длина равна x + 5; если на 5 см меньше — x − 5. Такой способ нужен, чтобы не вводить отдельную букву для каждой неизвестной величины. При этом важно следить за словами «больше», «меньше», «в несколько раз» и за единицами измерения.

Уравнение появляется, когда условие сообщает, что две величины равны или что их связывает известная формула. Например, периметр прямоугольника можно записать как 2(ширина + длина), а затем приравнять к данному периметру. Равенство сохраняет смысл условия, но уже содержит неизвестное. Поэтому решение такого равенства помогает найти число, при котором выполняется исходная связь.

Составленное уравнение решают знакомыми действиями: раскрывают скобки, переносят слагаемые или делят обе части на одно и то же ненулевое число. Каждый шаг должен сохранять равенство, иначе вместо исходного уравнения получится другое. В результате получают значение x — корень уравнения. Полезно выполнять преобразования по порядку и проверять арифметику, особенно при работе со скобками и отрицательными числами.

После решения уравнения найденное число подставляют в выражения, составленные по условию, и проверяют, действительно ли выполняется главное условие. Это нужно потому, что при переводе слов в формулы или вычислениях можно ошибиться, а иногда корень не подходит по смыслу задачи. Например, отрицательная ширина не может быть ответом о реальном прямоугольнике. В конце указывают, какую величину нашли, и обязательно записывают её единицы: сантиметры, километры, килограммы и так далее.

Этапы решения задачи с помощью линейного уравнения

Таблица показывает путь от чтения условия до записи ответа. Пользуйся ею как проверочным списком: на каждом этапе спроси себя, получен ли указанный результат. Если на каком-то шаге возникла трудность, вернись к условию и уточни, как связаны величины.

Разбор задач

1. Периметр прямоугольника равен 46 см, а его длина на 5 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

1. Обозначим ширину через x см. Тогда длина равна x + 5 см, потому что она на 5 см больше.
2. Периметр — это удвоенная сумма ширины и длины, поэтому составим уравнение: 2(x + x + 5) = 46. Получаем 4x + 10 = 46, откуда 4x = 36 и x = 9.
3. Ширина равна 9 см, а длина равна 9 + 5 = 14 см. Проверим: 2(9 + 14) = 46 см, условие выполнено.

Ответ: 9 см и 14 см.

2. Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорости равны 12 км/ч и 36 км/ч, встреча произошла через 2 часа. Найдите расстояние между посёлками.

1. За время движения велосипедист проехал 12 · 2 = 24 км, а мотоциклист — 36 · 2 = 72 км. При встречном движении они вместе преодолевают всё расстояние между посёлками.
2. Обозначим расстояние между посёлками через x км. По условию оно равно сумме пройденных расстояний: x = 24 + 72. Тогда x = 96.
3. Проверим: за два часа участники действительно проедут вместе 96 км. Значит, найденное расстояние согласуется с условием задачи.

Ответ: 96 км.

3. В первом сплаве содержится 20% меди, во втором — 35%. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 40 кг сплава с содержанием меди 29%, если второго сплава берут на 10 кг больше?

1. Обозначим массу первого сплава через x кг. Масса второго тогда x + 10 кг, а их общая масса равна 40 кг.
2. В первом сплаве меди 0,20x кг, во втором — 0,35(x + 10) кг. В готовом сплаве меди 0,29 · 40 = 11,6 кг, поэтому составим уравнение: 0,20x + 0,35(x + 10) = 11,6.
3. Раскроем скобки: 0,55x + 3,5 = 11,6, значит 0,55x = 8,1 и x = 14 8/11. Тогда второго сплава нужно x + 10 = 24 8/11 кг. Сумма масс равна 40 кг, а количество меди по составленному уравнению равно 11,6 кг.

Ответ: 14 8/11 кг первого сплава и 24 8/11 кг второго.

Типичные ошибки

• Не указано, что обозначает x. Тогда непонятно, какую величину нашли, и легко перепутать её с другой. Так бывает, когда начинают считать, не разобрав условие. Перед составлением уравнения запиши словами: «Пусть x — …», а затем проверь, отвечает ли это вопросу задачи.
• Неверно выражена зависимая величина. Например, при условии «на 5 см меньше» записывают x + 5 вместо x − 5. Ошибку часто вызывает невнимательное чтение слов о разности. Подставь простой пример: если ширина 10 см, длина на 5 см меньше должна быть 5 см.
• Составлено уравнение без учёта единиц измерения или смысла величин. Например, складывают километры и километры в час или приравнивают массу одного вещества к общей массе смеси. Это происходит, когда записывают формулы автоматически. Проверь единицы каждого слагаемого и убедись, что обе части равенства описывают величины одного типа.
• Записан только корень, без проверки и ответа. Само число может оказаться не той величиной, о которой спрашивали, или не подходить условию. Обычно это случается из-за спешки после решения уравнения. Подставь значение в исходную связь, пересчитай искомую величину при необходимости и запиши её название с единицами.

Связь с другими темами

Чтобы решать такие задачи, нужно знать свойства равенств, действия с одночленами и способы решения линейных уравнений. Также пригодятся формулы и умение работать с единицами измерения, процентами, расстоянием, скоростью и временем. Этот метод связывает алгебру с геометрией и физикой: он помогает переводить реальные условия в вычисления. Позже он пригодится при изучении систем уравнений и функций, а также при решении практических задач.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестную величину и обозначь её буквой.
• Связанные величины вырази через неизвестную.
• Главное условие задачи запиши в виде равенства.
• Реши полученное линейное уравнение.
• Проверь найденное значение по условию задачи.
• В ответе укажи величину и единицы её измерения.