"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система линейных уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными. Её решение — пара значений, которая одновременно подходит каждому уравнению. Если неизвестных две, каждое уравнение задаёт прямую на координатной плоскости, а решения системы соответствуют общим точкам этих прямых. Поэтому по графикам можно узнать, сколько решений имеет система: одно, ни одного или бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных уравнений с двумя неизвестными — это несколько линейных уравнений, записанных вместе и содержащих общие неизвестные, обычно x и y. Их рассматривают совместно, а не решают по отдельности, потому что ищут одну пару значений, подходящую сразу всем уравнениям. Систему часто записывают фигурной скобкой, объединяющей уравнения.
Решение системы — пара значений неизвестных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Для неизвестных x и y пару записывают в порядке (x; y). Это определение помогает не перепутать значения и сразу задаёт способ проверки ответа.
График линейного уравнения с двумя неизвестными — прямая, состоящая из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Например, точка с координатами (x; y) лежит на графике, если после подстановки этих чисел равенство верно. График позволяет увидеть все решения уравнения сразу.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают все решения. У них могут быть по-разному записаны уравнения, но набор подходящих пар остаётся одним и тем же. Это понятие нужно, чтобы проверять, не изменилось ли множество решений при преобразованиях.
Пара становится решением системы только тогда, когда удовлетворяет каждому её уравнению одновременно. Если подстановка верна лишь в одном уравнении, второе условие не выполнено, поэтому такая пара не подходит всей системе. Запись парой нужна потому, что у каждого неизвестного своё значение: например, (2; 1) означает x = 2 и y = 1. Порядок здесь важен, иначе значения можно случайно поменять местами.
Уравнение вида ax + by = c задаёт прямую, если его коэффициенты не равны нулю одновременно. Для каждого значения x, при котором можно выразить y, уравнение определяет соответствующее значение y; координаты полученной точки удовлетворяют равенству. Таких пар может быть много, и все они располагаются на одной прямой. Поэтому график показывает не одну пару, а все решения одного уравнения.
Для графического решения системы строят прямую каждого уравнения на одной координатной плоскости. Чтобы построить прямую, достаточно найти две её точки: подобрать значения одной неизвестной и вычислить другую. Затем определяют координаты общей точки графиков, если она есть. Эти координаты образуют пару, потому что точка одновременно принадлежит обеим прямым и значит удовлетворяет обоим уравнениям.
Общие решения уравнений — это точки, которые лежат на обоих графиках. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку, поэтому система получает единственное решение. Параллельные непересекающиеся прямые общих точек не имеют, а значит, нет пары, подходящей обоим уравнениям. Если прямые совпадают, каждая точка одной прямой принадлежит другой, поэтому решений бесконечно много.
Преобразования помогают заменить уравнения более удобной записью, но система после преобразования должна сохранять прежние решения. Например, умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет его решений. Деление тоже безопасно только на число, не равное нулю. Если делитель содержит неизвестное, сначала нужно учесть случай, когда он равен нулю: иначе можно потерять подходящие пары и получить неравносильную систему.
| Расположение графиков уравнений | Число общих точек | Число решений системы | Что можно заключить |
|---|---|---|---|
| Прямые пересекаются | Одна | Одно | Координаты точки пересечения — решение |
| Прямые параллельны и не совпадают | Ни одной | Ни одного | Общей пары, удовлетворяющей обоим уравнениям, нет |
| Прямые совпадают | Бесконечно много | Бесконечно много | Все точки прямой подходят обоим уравнениям |
Сначала установи, сколько общих точек у графиков, а затем сопоставь это число с количеством решений. Если точка пересечения читается приблизительно, проверь найденные координаты подстановкой в оба уравнения. Так таблица помогает понять смысл ответа, а не просто назвать число решений.
Нужно проверить пару в обоих уравнениях, соблюдая порядок координат: x = 2, y = 1. Одной верной подстановки недостаточно, поскольку система требует выполнения обоих условий. Сравним полученные значения левых частей с правыми частями равенств.
Подставим x = 2 и y = 1 в первое уравнение: 2 + 1 = 3. Получили верное равенство, значит, первое условие выполнено.
Подставим те же значения во второе уравнение: 2 − 1 = 1. Равенство тоже верно, поэтому выполнено и второе условие системы.
Оба уравнения обратились в верные равенства. Следовательно, пара удовлетворяет системе целиком, а не только одному её уравнению.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением системы.
Каждое уравнение задаёт прямую, поэтому сначала найдём по две точки для каждой прямой. Затем нанесём точки на координатную плоскость и проведём прямые. Точку пересечения удобнее проверить подстановкой, чтобы убедиться, что чтение графика точное.
Для уравнения x + y = 4 возьмём x = 0: тогда y = 4, получаем точку (0; 4). Возьмём y = 0: тогда x = 4, получаем точку (4; 0).
Для уравнения x − y = 0 возьмём x = 0: тогда y = 0, получаем точку (0; 0). При x = 2 получаем y = 2, значит, вторая точка — (2; 2).
Построим обе прямые через найденные точки. Они пересекаются в точке (2; 2), поэтому предполагаемое решение системы — пара (2; 2).
Проверим результат: 2 + 2 = 4 и 2 − 2 = 0. Оба равенства верны, значит, координаты пересечения действительно дают решение.
Ответ: (2; 2).
Сравним уравнения и выясним, задают ли они одну и ту же прямую. Если поделить обе части первого уравнения на 2, оно не изменит решений, потому что делим на ненулевое число. Полученное уравнение совпадёт со вторым, а значит, все его решения будут общими.
Разделим левую и правую части первого уравнения на 2: 2x + 2y = 6 превращается в x + y = 3. Деление на 2 допустимо, так как 2 не равно нулю.
Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением системы. Следовательно, оба уравнения задают одну и ту же прямую, а не две различные пересекающиеся или параллельные прямые.
У прямой бесконечно много точек, и каждая из них удовлетворяет обоим одинаковым уравнениям. Поэтому системе соответствует бесконечно много пар решений.
Ответ: бесконечно много решений.
Проверять пару только в одном уравнении. Так можно принять за решение системы пару, которая не выполняет второе условие. Обычно это происходит, когда проверку останавливают после первого верного равенства. Подставь значения во все уравнения и отметь, что каждое из них проверено.
Записывать координаты точки пересечения в неверном порядке. Первая координата точки относится к x, а вторая — к y, поэтому перестановка чисел меняет пару. Ошибка возникает, когда координаты читают как обычный список без учёта осей. Проверь, какая координата отвечает за горизонтальную ось x, а какая — за вертикальную y.
Считать приблизительное чтение графика точным ответом. На чертеже точку пересечения не всегда удаётся определить без погрешности, особенно если она находится между отметками. Из-за этого можно записать пару, которая не удовлетворяет уравнениям. Подставь предполагаемые координаты в оба уравнения и проверь равенства.
Делить уравнение на выражение с неизвестными, не проверив его на ноль. Если выражение равно нулю, деление на него недопустимо, а подходящие решения могут потеряться. Такое действие часто кажется привычным сокращением, но неизвестное выражение не всегда ненулевое. Отдельно рассмотри случай, когда делитель равен нулю, и только затем используй деление.
Для работы с системой нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и проверять, верно ли равенство. Эти навыки позволяют проверить найденную пару независимо от способа решения. Также понадобятся знания о координатной плоскости: нужно понимать, как отмечать точки и считывать их координаты.
Представление о графике линейной функции помогает строить прямые, соответствующие уравнениям, и находить их пересечение. Позже системы пригодятся при решении текстовых задач: разные условия задачи записывают отдельными уравнениями. Изучение следующих способов решения систем позволит находить ответ не только по графику, но и вычислениями.
Почему решение системы записывают парой чисел?
В системе с двумя неизвестными нужно указать значение и для x, и для y. Пара записывается в порядке (x; y): первое число относится к x, второе — к y. Только вместе они позволяют проверить оба уравнения.
Как проверить, является ли заданная пара решением системы?
Подставь первое число вместо x, а второе — вместо y в каждое уравнение. Вычисли левую часть отдельно для каждого уравнения. Пара подходит системе, только если все полученные равенства верны.
Как построить график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Выбери несколько значений x и найди соответствующие значения y, чтобы равенство выполнялось. Отметь полученные точки на координатной плоскости и проведи через них прямую. Для построения обычно достаточно двух точек, но третья поможет проверить точность.
Почему система может не иметь решений или иметь их бесконечно много?
Если прямые, заданные уравнениями, параллельны и не совпадают, у них нет общих точек, поэтому решений нет. Если прямые совпадают, каждая точка одной прямой принадлежит и другой. Тогда общих решений бесконечно много.
Как понять по графику, сколько решений у системы?
Найди общие точки графиков уравнений. Одна точка пересечения означает одно решение, отсутствие общих точек — отсутствие решений, а совпадение прямых — бесконечно много решений. Координаты точки пересечения записывай как (x; y).
§ 10. Системы линейных уравнений
