"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет вид ax + by = c. Его решение — пара чисел, которая превращает уравнение в верное равенство. Обычно таких пар бесконечно много: одну неизвестную можно выбрать, а другую вычислить. Все решения изображаются на координатной плоскости точками одной прямой. Тема помогает находить пары чисел, строить графики и решать системы уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это уравнение вида ax + by = c, где a, b и c — числа, а a и b не равны нулю одновременно. Буквы x и y обозначают неизвестные, а a и b — коэффициенты при них. Такое определение помогает узнать нужный вид уравнения и не спутать его, например, с уравнением, где есть x² или произведение xy.
Решение уравнения с двумя неизвестными — упорядоченная пара чисел (x; y), после подстановки которой уравнение превращается в верное равенство. Порядок чисел имеет значение: первое число относится к x, второе — к y. Это определение нужно, чтобы правильно проверять, подходит ли конкретная пара.
Множество решений уравнения — все пары чисел, удовлетворяющие этому уравнению. Одну такую пару можно найти случайно, но она обычно не является единственной. Рассматривая все решения сразу, можно описать уравнение полностью и изобразить его на координатной плоскости.
Уравнение ax + by = c называют уравнением первой степени, потому что x и y входят в него только в первой степени: x¹ и y¹ обычно записывают просто как x и y. Здесь нет квадратов неизвестных, их произведения друг на друга или других более сложных выражений. Поэтому действия с таким уравнением похожи на действия с линейным уравнением с одной неизвестной.
Проверка пары основана на самом смысле решения: верное решение должно сохранить равенство. Для этого первое число пары подставляют вместо x, второе — вместо y, затем отдельно вычисляют левую часть и сравнивают её с правой. Если значения совпали, пара подходит; если нет, она решением не является.
Уравнение с двумя неизвестными обычно имеет много решений, потому что одно равенство связывает два числа, но не задаёт каждое из них однозначно. Можно выбрать значение x, после чего равенство определит подходящее значение y. Например, в уравнении 2x + y = 5 при x = 1 получаем y = 3, а при x = 2 получаем y = 1.
Чтобы получить решения систематически, выразим одну неизвестную через другую. Если b ≠ 0, из ax + by = c следует by = c − ax, поэтому y = (c − ax) / b. Затем выбираем несколько значений x, вычисляем y и проверяем полученные пары подстановкой в исходное уравнение.
Каждой паре решения соответствует точка с координатами (x; y). После выражения y через x получается формула вида y = kx + m, а её график — прямая. Поэтому множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению первой степени, и изображается прямой.
В таблице сравниваются общая запись и конкретный пример. При решении сначала определите коэффициенты, затем выберите способ получения пар и обязательно проверьте результат. Для построения графика удобнее всего найти две или несколько точек.
| Характеристика | Общее уравнение ax + by = c | Пример 2x − y = 1 |
|---|---|---|
| Вид уравнения | ax + by = c | 2x − y = 1 |
| Коэффициенты при неизвестных | a и b; они не равны нулю одновременно | a = 2, b = −1, c = 1 |
| Проверка пары (x; y) | Подставить x и y и сравнить части равенства | Для (1; 1): 2 · 1 − 1 = 1 |
| Как получить решения | Выразить одну неизвестную и выбрать значения другой | y = 2x − 1 |
| Геометрический образ множества решений | Прямая на координатной плоскости | Прямая y = 2x − 1 |
Условие: проверьте, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + y = 7. Нужно подставить координаты именно в том порядке, в котором они записаны. После этого сравним результат с правой частью.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением.
Условие: выразите y через x в уравнении 2x + y = 5 и найдите два решения. Сначала оставим y в одной части, затем выберем удобные значения x. Так можно получить не одну случайную пару, а целый способ нахождения решений.
Ответ: y = 5 − 2x; два решения — (0; 5) и (2; 1).
Условие: постройте график уравнения x + 2y = 4 и определите, принадлежит ли ему точка (2; 1). Для построения выразим y, найдём несколько координат и нанесём их на плоскость. Затем отдельно проверим заданную точку.
Ответ: график — прямая через найденные точки; точка (2; 1) принадлежит графику.
Меняют местами координаты. В паре (x; y) первое число относится к x, второе — к y, но при спешке их подставляют наоборот. Запишите под буквами координаты перед вычислением и проверьте порядок.
Считают решением любую пару. Наличие двух чисел ещё не означает, что они подходят уравнению. Всегда выполните подстановку и убедитесь, что обе части равны.
Записывают только одно решение. Одна найденная пара показывает лишь один случай, а не все возможности. Выразите одну неизвестную через другую и подставьте ещё несколько значений.
Ошибаются при выражении неизвестной. Слагаемое при переносе меняет знак, а при делении нужно разделить всю оставшуюся часть на коэффициент. Проверьте преобразование обратной подстановкой в исходное уравнение.
До этой темы нужны навыки подстановки чисел, действий с положительными и отрицательными числами и решения линейных уравнений с одной неизвестной. Они помогают выполнять преобразования без ошибок.
Уравнения с двумя неизвестными понадобятся при изучении систем: решение системы ищут среди пар, которые подходят каждому уравнению одновременно. Графическое изображение решений связывает алгебру с координатной плоскостью и геометрией прямой.
Что означает, что пара чисел является решением уравнения?
Это означает, что после подстановки чисел вместо x и y левая и правая части уравнения становятся равными. Например, пара (2; 1) является решением уравнения 3x + y = 7, потому что 3 · 2 + 1 = 7.
Как проверить, подходит ли заданная пара?
Первое число подставьте вместо x, а второе — вместо y. Затем выполните действия и сравните получившиеся значения обеих частей уравнения.
Почему у уравнения с двумя неизвестными обычно бесконечно много решений?
Можно выбрать любое значение одной неизвестной, а вторую найти из уравнения. Если коэффициенты позволяют выразить вторую неизвестную, каждому допустимому значению первой соответствует новая пара.
Как найти несколько решений уравнения?
Выразите одну неизвестную через другую, например y = (c − ax) / b. Затем подставьте несколько удобных значений x и получите соответствующие значения y.
Почему решения уравнения образуют прямую на координатной плоскости?
После выражения y получается формула линейной зависимости y = kx + m. Графиком такой зависимости является прямая, а каждая её точка имеет координаты, удовлетворяющие исходному уравнению.
10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными
