"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — это два уравнения, которые нужно выполнить одновременно. Искомое решение — пара чисел: первое значение подставляют вместо одной неизвестной, второе — вместо другой, и оба уравнения должны стать верными. Такие системы помогают находить сразу две величины, связанные несколькими условиями. Для решения используют, например, подстановку и сложение уравнений, а результат обязательно проверяют.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это равенство вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — числа; числа a и b не могут одновременно быть равны нулю. Например, 2x + y = 7 — такое уравнение. Оно связывает два числа, но обычно не задаёт их единственным образом: разным значениям x могут соответствовать разные значения y.
Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными называют два таких уравнения, которые нужно выполнить одновременно. Часто их объединяют фигурной скобкой и записывают одно под другим. Система нужна, когда про искомые величины известно сразу несколько условий: каждое уравнение описывает одно из них, а решение должно удовлетворять им всем.
Решением системы называют пару чисел (x; y), которая превращает оба уравнения в верные равенства. Первое число пары относится к x, второе — к y, поэтому порядок важен. Это определение помогает отличить решение всей системы от числа, которое подходит только к одному её уравнению.
В отдельном уравнении с двумя неизвестными часто можно выбрать одно значение x и подобрать подходящее y. Например, если x + y = 5, то подходят пары (1; 4) и (2; 3). Второе уравнение системы добавляет ещё одно условие и оставляет только те пары, которые удовлетворяют обоим равенствам. Поэтому систему нельзя считать решённой, пока не проверены сразу оба уравнения.
Удобно представить каждое уравнение как правило отбора пар чисел. Решение системы должно пройти оба отбора одновременно, словно ответ на два вопроса. Иногда такой пары нет: условия противоречат друг другу. Иногда подходит одна пара, а при совпадающих по смыслу уравнениях подходящих пар может быть бесконечно много.
Метод подстановки использует возможность выразить одну неизвестную через другую. Например, из уравнения x + y = 5 можно получить y = 5 − x. Если заменить y этим выражением во втором уравнении, останется уравнение с одной неизвестной, которое решить проще. Затем найденное значение подставляют обратно, чтобы получить второе число и составить пару.
Метод сложения устроен иначе: уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна неизвестная исчезла. Если в системе есть 2x + y = 7 и 3x − y = 8, слагаемые y и −y при сложении взаимно уничтожаются. Если коэффициенты при неизвестной не противоположны, можно сначала умножить уравнения на подходящие числа. Этот способ удобен, когда коэффициенты легко сделать одинаковыми или противоположными.
Преобразования системы должны сохранять её решения. Например, уравнение можно умножить на одно и то же ненулевое число: равенство останется равносильным, потому что обе его части изменятся одинаково. Если при сложении или вычитании уравнений исчезла неизвестная, найденное значение всё равно нужно подставить в исходное уравнение. Проверка особенно полезна, потому что ошибка в знаке может дать правдоподобное, но неверное число.
При решении задачи сначала выбирают, что обозначить буквами, и переводят условия в два уравнения. Например, если известны сумма двух чисел и разность этих чисел, первое равенство описывает сумму, второе — разность. Решив систему, получают значения обеих величин, а затем сверяют их с условием. Такой порядок помогает не потерять смысл ответа за вычислениями.
| Способ | Основная идея | Когда удобно |
|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и заменить ею эту неизвестную в другом уравнении. | Когда неизвестную легко выразить, например её коэффициент равен 1 или −1. |
| Сложение | Сложить или вычесть уравнения, чтобы коэффициент одной неизвестной стал нулём. | Когда коэффициенты уже противоположны или их легко сделать такими умножением. |
| Проверка | Подставить найденную пару в оба исходных уравнения. | Всегда: проверка подтверждает, что ответ подходит всей системе. |
Сначала посмотри на коэффициенты и выбери способ, который требует меньше преобразований. При подстановке следи, чтобы выражение заменяло неизвестную целиком, а при сложении записывай действия с обеими частями уравнений. После решения не пропускай проверку в исходной системе.
Решим систему: 2x + y = 7 и 3x − y = 8. Нужно найти такую пару (x; y), чтобы оба равенства оказались верными. Заметим, что коэффициенты при y — противоположные числа: в первом уравнении стоит y, во втором — −y. Поэтому можно сложить уравнения и сразу исключить y.
Складываем левые части и правые части уравнений: (2x + y) + (3x − y) = 7 + 8. Слагаемые y и −y дают ноль, поэтому получаем 5x = 15. Мы свели систему к одному уравнению с одной неизвестной.
Делим обе части равенства 5x = 15 на 5 и получаем x = 3. Это пока только первое число искомой пары, а не полный ответ. Теперь нужно найти y, используя одно из исходных уравнений.
Подставляем x = 3, например, в первое уравнение: 2 · 3 + y = 7. Значит, 6 + y = 7 и y = 1. Получили пару (3; 1), но перед окончательным ответом проверим её в обоих равенствах.
Проверяем первое уравнение: 2 · 3 + 1 = 7. Проверяем второе: 3 · 3 − 1 = 8. Оба равенства верны, следовательно, пара подходит системе.
Ответ: x = 3, y = 1, или пара (3; 1). В решении сначала выбрали сложение, потому что неизвестная y исчезала без дополнительных действий. Если бы после нахождения x мы не нашли y, задача осталась бы незавершённой: решение системы — именно пара чисел. Проверка показала, что оба условия выполнены.
Ученик называет решением значение только одной неизвестной. Так бывает, когда после исключения переменной забывают вернуться к исходному уравнению. Проверь себя: записана ли пара из двух чисел и подставлена ли она в оба равенства?
При сложении уравнений теряют знак или складывают только левые части. Ошибку легко допустить, если не записывать действие полностью. Проверяй, что к левой части одного уравнения прибавлена левая часть другого и то же действие выполнено с правыми частями.
При подстановке выражение заменяют не полностью или неверно раскрывают скобки. Обычно это происходит из-за спешки и невнимания к знакам перед выражением. Подставляй выражение в скобках, а затем проверь преобразования обратным действием или повторной подстановкой.
Ответ проверяют только в одном уравнении. Пара может случайно подойти одному равенству, но нарушить второе, поэтому этого недостаточно. Подставь оба найденных числа отдельно в каждое исходное уравнение и убедись, что все равенства верны.
Для решения системы нужны навыки преобразования выражений и решения линейных уравнений с одной неизвестной: именно к такому уравнению сводят систему при подстановке или сложении. Составление уравнений по условию задачи связывает тему с арифметикой и практическими задачами о величинах. Позже системы можно будет изображать на координатной плоскости: каждое уравнение задаёт прямую, а общая точка прямых соответствует решению системы. Это наглядно объясняет, почему система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь много решений.
Система требует, чтобы оба уравнения выполнялись одновременно.
Решение системы — пара значений неизвестных, подходящая каждому уравнению.
При подстановке выражают одну неизвестную и заменяют ею эту неизвестную в другом уравнении.
При сложении выбирают действие так, чтобы коэффициент одной неизвестной стал равен нулю.
После вычислений обязательно проверь найденную пару в обоих исходных уравнениях.
Что называется решением системы двух уравнений?
Это пара значений неизвестных, при подстановке которой оба уравнения системы становятся верными. Решение записывают как пару чисел, например (2; 3).
Может ли система не иметь решений?
Да. Например, если одно уравнение требует, чтобы сумма двух чисел была равна 4, а другое — чтобы та же сумма была равна 7, выполнить оба условия невозможно. Тогда говорят, что система не имеет решений.
Как проверить найденное решение системы?
Подставь значения неизвестных по очереди в каждое исходное уравнение. Если оба равенства верны, пара является решением; если хотя бы одно неверно, нужно найти ошибку.
Зачем уравнения складывают при решении системы?
Сложение может убрать одну неизвестную, если её коэффициенты в уравнениях противоположны. Тогда сначала находят вторую неизвестную, а затем подставляют её в одно из исходных уравнений.
10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
