10.3. Способ подстановки

Определения и обозначения

Система двух уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны быть верны одновременно для одной и той же пары значений переменных. Например, если переменные обозначены x и y, нельзя подобрать одно значение x для первого уравнения, а другое — для второго: пара должна быть общей. Это определение помогает отличить систему от двух уравнений, решаемых по отдельности.

Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные равенства. Обычно такую пару записывают вместе, например (x; y), чтобы не перепутать, какое значение относится к каждой переменной. Поиск именно общей пары и составляет цель решения системы.

Способ подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение во второе уравнение. После подстановки остаётся уравнение с одной переменной, которое можно решить знакомыми приёмами. Этот способ нужен, чтобы постепенно найти обе части искомой пары.

Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении исходную систему заменяют равносильной, чтобы упростить вычисления, но не потерять подходящие пары и не добавить неподходящие. Поэтому каждое преобразование должно сохранять решения системы.

Как это устроено

Сначала посмотри, в каком уравнении легче выразить переменную. Если она уже стоит отдельно, как y в записи y = x + 2, дополнительных преобразований не требуется; если её коэффициент равен 1, выражение тоже часто получается коротким. Короткая запись уменьшает число вычислений и помогает не запутаться со знаками. Поэтому начинать можно не обязательно с первого уравнения, а с того, которое удобнее.

Чтобы выразить переменную, преобразуй уравнение, сохраняя равенство: любое действие, выполненное с одной частью, должно быть выполнено и с другой. Например, из x − y = 2 можно прибавить y к обеим частям и получить x = y + 2, а затем вычесть 2 из обеих частей: y = x − 2. Равенство сохраняется, потому что обе части изменяются одинаково. Если изменить только одну часть, полученное уравнение уже может быть неверным.

Полученное выражение подставляют вместо соответствующей переменной во второе уравнение. Это нужно потому, что искомая пара обязана удовлетворять не только тому уравнению, из которого мы получили выражение, но и другому уравнению системы. Например, если y = x − 2, то каждую y во втором уравнении можно заменить на x − 2. Так два условия соединяются в одно уравнение с одной переменной.

Решив это уравнение, ты находишь значение одной переменной, но ещё не всю пару. Чтобы определить вторую, подставь найденное значение в выражение, связывающее переменные, или в одно из исходных уравнений. Выбирай запись, где вычислять проще. После этого запиши обе координаты вместе и укажи, какая из них относится к x, а какая к y.

Наконец, подставь найденные значения в оба исходных уравнения. Проверка нужна, потому что при переносе слагаемых, раскрытии скобок или вычислениях легко допустить ошибку. Одно верное равенство ещё не подтверждает решение всей системы: должны выполниться оба. Если оба равенства верны, найденная пара действительно является решением.

Этапы решения системы способом подстановки

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен. На третьем этапе получается лишь одна координата, поэтому не останавливайся, пока не найдёшь вторую. Последняя проверка относится к исходным уравнениям, а не только к промежуточным записям.

Разбор задач

Задача 1. Решите систему: y = x + 2; x + y = 8.

Первая переменная уже выражена через вторую, точнее, y выражена через x, поэтому преобразовывать первое уравнение не нужно. Подставим вместо y выражение x + 2 во второе уравнение. Затем найдём x, восстановим y и проверим оба равенства.

1. Подстановка даёт x + (x + 2) = 8, то есть 2x + 2 = 8. Вычтем 2: 2x = 6, поэтому x = 3. Это пока только одно значение из искомой пары.
2. Подставим x = 3 в y = x + 2. Получим y = 3 + 2 = 5. Значит, предполагаемая пара — (3; 5).

Проверим: 5 = 3 + 2 верно, а 3 + 5 = 8 тоже верно. Оба исходных уравнения выполняются для одной пары значений. Ответ: (3; 5).

Задача 2. Решите систему: 2x + y = 7; x − y = 2.

Во втором уравнении коэффициент при y равен −1, поэтому y удобно выразить через x. Прибавим y и вычтем 2 так, чтобы получить y = x − 2. Подставим это выражение в первое уравнение, а после решения найдём y.

1. Из x − y = 2 получаем −y = 2 − x, значит, y = x − 2. Подставим это во второе по счёту уравнение системы, то есть в 2x + y = 7: 2x + (x − 2) = 7. Тогда 3x − 2 = 7, откуда 3x = 9 и x = 3.
2. Вычислим y: y = 3 − 2 = 1. Проверим первую запись: 2 · 3 + 1 = 7. Проверим вторую: 3 − 1 = 2.

Пара (3; 1) удовлетворяет обоим условиям системы. Подстановка выразила одну переменную, а найденное значение позволило восстановить другую. Ответ: (3; 1).

Задача 3. Решите систему: 3x − 2y = 4; x + 2y = 8.

Здесь можно выразить x из второго уравнения: x = 8 − 2y. Тогда в первом уравнении останется только y. Такой выбор удобен, потому что коэффициент при x равен 1 и делить на число не придётся.

1. Подставим x = 8 − 2y в 3x − 2y = 4. Получим 3(8 − 2y) − 2y = 4, то есть 24 − 6y − 2y = 4. Тогда −8y = −20 и y = 5/2.
2. Найдём x из x = 8 − 2y: x = 8 − 2 · 5/2 = 3. Полученная пара — (3; 5/2).

Проверим первое уравнение: 3 · 3 − 2 · 5/2 = 9 − 5 = 4. Во втором получаем 3 + 2 · 5/2 = 3 + 5 = 8, значит, проверка пройдена. Ответ: (3; 5/2).

Типичные ошибки

• Ошибка: при выражении переменной меняют только одну часть уравнения. Так делают, когда переносят слагаемое, но забывают, что равенство сохраняется лишь при одинаковом действии с обеими частями. Проверь себя: выпиши действие отдельно для левой и правой частей и убедись, что оно одинаковое.

• Ошибка: выражение подставляют вместо другой переменной или не в то уравнение. Обычно это происходит из-за невнимательности к буквам и строкам системы. Перед вычислениями назови вслух, какую переменную выразил и где именно её заменяешь; затем проверь, что подстановка связывает оба условия.

• Ошибка: найденное значение одной переменной записывают как ответ. Оно не определяет пару, а значит, ещё не показывает, что оба неизвестных найдены. Вернись к выражению переменной и вычисли вторую координату; в ответе укажи оба значения в согласованном порядке.

• Ошибка: пропускают проверку в исходных уравнениях. При промежуточных преобразованиях может потеряться знак или появиться арифметическая ошибка, и без проверки она останется незаметной. Подставь пару отдельно в каждое исходное уравнение и убедись, что получились верные равенства.

Связь с другими темами

Для способа подстановки нужно уметь решать линейные уравнения и выражать одну переменную через другую. Эти навыки уже знакомы по работе с равенствами: одинаковые действия с обеими частями помогают сохранять их верность. Чем увереннее ты выполняешь такие преобразования, тем проще пройти первый этап решения системы.

Способ подстановки применяют при решении систем линейных уравнений, особенно когда в одном уравнении легко выразить переменную. После подстановки система сводится к линейному уравнению с одной переменной. Поэтому полезно заранее замечать переменную с удобным коэффициентом и выбирать короткий путь.

Решение системы помогает находить два неизвестных числа в текстовых задачах. Например, неизвестными могут быть два числа, а условия задачи задают два равенства для них. После составления системы можно найти пару способом подстановки и проверить, соответствует ли она условию.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению.
• Сначала вырази одну переменную через другую.
• Подставь полученное выражение во второе уравнение.
• Реши уравнение с одной переменной.
• Найди значение второй переменной.
• Проверь найденную пару в исходной системе.