"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Способ уравнивания коэффициентов помогает решать систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Его идея — умножить уравнения на подходящие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали равными или противоположными. Тогда сложением или вычитанием эту переменную можно исключить и получить уравнение с одной неизвестной. Остаётся найти вторую переменную подстановкой и проверить пару в обоих исходных уравнениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это пара уравнений, которые должны выполняться одновременно. Например, если записаны уравнения с x и y, нужно найти значения обеих переменных, подходящие сразу к обоим равенствам. Такое решение называют парой значений переменных, удовлетворяющей системе. Поэтому одного верного уравнения недостаточно: условие должно выполняться и для второго.
Коэффициент при переменной — число, на которое умножена эта переменная. В записи ax + by = c коэффициент при x — это a, а при y — b. Если перед переменной нет числа, коэффициент равен 1, а если стоит знак минус — коэффициент равен −1. Коэффициенты нужно распознавать, чтобы понять, как преобразовать уравнения и какую переменную удобнее исключить.
Равносильные системы — это системы с одинаковыми решениями. При решении систему преобразуют, но полученная запись должна сохранять все исходные пары решений. Если преобразование добавит или потеряет решения, итог уже не будет ответом исходной задачи. Поэтому используют действия, которые сохраняют равенства и множество решений.
Способ уравнивания коэффициентов — способ решения системы, при котором уравнения умножают на подходящие числа, чтобы коэффициенты одной переменной стали равными или противоположными. Затем уравнения складывают или вычитают, и выбранная переменная исчезает. Остаётся уравнение с одной переменной, которое можно решить обычным способом. Этот метод ещё называют способом сложения.
Сначала удобно записать оба уравнения в стандартном виде: ax + by = c, то есть собрать слагаемые с переменными слева, а числа — справа. Затем сравни коэффициенты при x и y и выбери переменную для исключения. Удобнее взять ту, у которой коэффициенты уже равны или противоположны, либо легко превращаются в такие. Тогда множители будут небольшими, а вычислений — меньше.
Чтобы изменить коэффициенты, умножают уравнение на число. Умножать нужно левую и правую части целиком: если в уравнении есть сумма, каждый её член также умножается на это число. Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, потому что его можно отменить делением на это число. Значит, полученное уравнение имеет те же решения, что и исходное, и систему можно преобразовывать без потери ответов.
Подбери множители так, чтобы коэффициенты выбранной переменной совпали по модулю. Например, коэффициенты 2 и 3 можно привести к 6: первое уравнение умножить на 3, второе — на 2. Сразу учитывай знаки: коэффициенты 2 и −3 можно превратить в 6 и −6 теми же множителями. После умножения обязательно проверь, что нужные коэффициенты действительно равны или противоположны.
Теперь исключи выбранную переменную. Если коэффициенты равны, вычти одно уравнение из другого: одинаковые слагаемые с переменной сократятся. Если коэффициенты противоположны, сложи уравнения: например, 6x и −6x дадут ноль. При сложении или вычитании выполняй действие над обеими частями равенств, а знаки чисел записывай внимательно. В результате должно остаться уравнение только с одной переменной.
Реши полученное линейное уравнение и найди значение переменной. Подставь его в одно из исходных уравнений, чтобы вычислить вторую переменную; можно выбрать то уравнение, где считать проще. Затем подставь оба найденных значения сначала в первое, а потом во второе исходное уравнение. Если оба равенства верны, пара является решением системы.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор переменной для исключения | Сравнить коэффициенты при x и y и выбрать одну переменную. | Удобнее исключать переменную с равными, противоположными или легко уравниваемыми коэффициентами. |
| Подбор множителей для уравнений | Решить, на какие числа умножить первое и второе уравнения. | Числа должны быть ненулевыми; умножать нужно обе части каждого уравнения. |
| Уравнивание коэффициентов | Выполнить умножение и переписать уравнения. | Сверить коэффициенты выбранной переменной вместе со знаками. |
| Сложение или вычитание уравнений | Сложить уравнения при противоположных коэффициентах или вычесть при равных. | Проверить, что выбранная переменная сократилась. |
| Нахождение второй переменной и проверка | Решить оставшееся уравнение, выполнить подстановку и проверить пару. | Проверить оба исходных равенства. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему шагу, только когда выполнил предыдущий. Особое внимание уделяй знакам коэффициентов перед сложением или вычитанием. В конце проверяй не только вычисления, но и то, что найдены обе переменные.
Решим систему 2x + y = 7, 3x − y = 8. При y коэффициенты равны по модулю, но имеют разные знаки: 1 и −1. Поэтому можно сразу сложить уравнения, не подбирая дополнительные множители. После сложения y исчезнет, и останется уравнение только с x.
Ответ: (3; 1).
Решим систему 2x + 3y = 13, 4x − y = 5. Удобно исключить y: его коэффициенты 3 и −1. Умножим второе уравнение на 3, тогда коэффициент при y станет −3 и будет противоположен коэффициенту 3 в первом уравнении. Сложение устранит y.
Ответ: (2; 3).
Решим систему 3x + 2y = 8, 5x − 3y = 1. Выберем y: коэффициенты 2 и −3 легко привести к 6 и −6. Для этого первое уравнение умножим на 3, а второе — на 2. После сложения y исчезнет.
Проверка обнаружила несоответствие: при сложении преобразованных уравнений справа должно быть 24 + 2 = 26, поэтому 19x = 26 верно, но подстановка во второе исходное уравнение даёт 130/19 − 111/19 = 19/19 = 1. Ошибка возникла в проверке: 1/19 следует заменить на 19/19, так как 130 − 111 = 19. Оба уравнения выполняются.
Ответ: (26/19; 37/19).
Умножать только отдельные слагаемые — ошибка: равенство изменится, если не умножить на выбранное число всю левую часть и правую часть. Так делают, когда следят лишь за коэффициентом переменной и забывают о других членах. После умножения проверь каждый член уравнения, включая число справа. Например, из 2x + y = 7 при умножении на 3 получается 6x + 3y = 21.
Неверный знак при сложении или вычитании обычно появляется, если не сверить коэффициенты перед действием. При противоположных коэффициентах нужно складывать, а при равных — вычитать. Запиши рядом пары слагаемых, чтобы увидеть, какая именно переменная должна сократиться. Если после операции она осталась, проверь знаки и выбранное действие.
Можно подобрать множители, которые не уравнивают коэффициенты исключаемой переменной. Такое случается, когда считают множители, не проверив результат умножения. Перед сложением или вычитанием явно выпиши новые уравнения и сравни коэффициенты вместе со знаками. Если они не равны и не противоположны, выбранная переменная не исчезнет.
Найденное значение одной переменной — ещё не ответ системы. Иногда после решения уравнения с одной неизвестной забывают подставить результат и найти вторую. Проверь, что записана пара значений, а не одно число, и подставь пару в оба исходных равенства. Верный ответ должен удовлетворять им одновременно.
Для этого способа нужны навыки решения линейных уравнений с одной переменной, преобразования выражений и умножения уравнения на число. Он опирается на понятия решения системы и равносильных преобразований: систему можно менять, сохраняя её решения. Уравнивание коэффициентов полезно сопоставить с графическим способом и способом подстановки — это разные приёмы решения одной задачи. Дальше метод пригодится для более сложных систем и задач, которые можно свести к линейным уравнениям.
Почему можно умножать уравнение на число и не менять его решения?
Если умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, равенство сохранится. Обратное действие — разделить обе части на это число — вернёт исходное уравнение, поэтому его решения не изменятся.
Как понять, какую переменную удобнее исключить?
Посмотри на коэффициенты при обеих переменных: выбирай ту, для которой коэффициенты уже равны или противоположны либо их проще сделать такими. Чем меньше числа, на которые нужно умножать уравнения, тем обычно проще вычисления.
Что делать, если коэффициенты при переменной имеют разные знаки?
Сравни сами коэффициенты с учётом знаков и выбери множители так, чтобы они стали равными или противоположными. Например, коэффициенты 2 и −1 можно превратить в 2 и −2, умножив второе уравнение на 2.
Когда уравнения нужно складывать, а когда вычитать?
Если коэффициенты при исключаемой переменной противоположны, уравнения складывают: такие слагаемые взаимно уничтожаются. Если коэффициенты равны, уравнения вычитают.
Обязательно ли проверять найденную пару в обоих уравнениях?
Да, проверка в обоих исходных уравнениях подтверждает, что пара удовлетворяет всей системе. Если равенство не выполняется хотя бы в одном уравнении, значит, в решении или вычислениях допущена ошибка.
10.4. Способ уравнивания коэффициентов
