"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней, а равносильные системы — одинаковые множества решений. Это понятие помогает преобразовывать запись задачи так, чтобы не потерять подходящие значения и не получить лишние. Прибавление выражения к обеим частям, а также умножение или деление на ненулевое число сохраняют равносильность. Для системы нужно следить за всеми общими решениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Уравнение может иметь один или несколько корней, а может не иметь их вовсе. По корням сравнивают результаты решения.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Совпадения только одного корня недостаточно: у одного уравнения могут быть дополнительные решения. Поэтому нужно сравнивать все корни, а не отдельные значения.
Решение системы уравнений — пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Например, пара (4; 3) должна превращать в верные равенства и первое, и второе уравнение. Это помогает не принять за решение пары, подходящие лишь к одному условию.
Равносильные системы уравнений — системы, имеющие одно и то же множество решений. У систем могут быть разные записи, но все подходящие пары должны совпадать. Такое понятие позволяет заменять сложную систему более удобной.
Равносильность удобно понимать через множества решений. Если преобразование сохраняет каждое старое решение и не добавляет новых, множество не меняется. Значит, после такого шага можно решать уже новую запись, зная, что ответ останется прежним.
Прибавление одного и того же выражения к обеим частям сохраняет равенство, потому что одинаковое изменение происходит слева и справа. Например, из x + 5 = 9 можно вычесть 5 с обеих сторон и получить x = 4. Если равные величины увеличить или уменьшить на одно и то же число, они останутся равными.
При умножении обеих частей на одно и то же число равенство также сохраняется. Деление работает только для ненулевого числа: тогда умножение и деление являются обратными действиями и не меняют корни. Делить на ноль нельзя, поскольку такое действие не определено.
Перенос слагаемого через знак равенства — короткая запись прибавления противоположного выражения к обеим частям. Из x + 7 = 12 после вычитания 7 получают x = 12 − 7. Знак меняется не сам по себе, а потому, что к обеим частям прибавили −7.
В системе важны только общие решения, то есть пары, подходящие сразу ко всем уравнениям. Поэтому преобразование системы допустимо, если оно сохраняет именно множество таких пар. После нахождения ответа полезно подставить пару в исходные уравнения: так обнаруживаются потерянные или лишние решения.
| Что сравнивают | Когда равносильны | Что проверять при преобразовании |
|---|---|---|
| Уравнения | Множества корней совпадают | Не потеряны и не добавлены решения |
| Системы уравнений | Множества пар-решений совпадают | Пара удовлетворяет всем уравнениям |
| Прибавление выражения к обеим частям уравнения | Одно и то же выражение прибавлено слева и справа | Равенство сохраняется |
| Умножение или деление обеих частей уравнения | Множитель или делитель ненулевой | Нельзя делить на ноль |
| Преобразование системы | Множество общих решений не меняется | Проверить все исходные уравнения |
Сначала определите, какой объект преобразуется: одно уравнение или система. Затем проверьте, какое действие выполнено и не запрещено ли оно условием ненулевого множителя. В конце сравните все корни или подставьте найденные пары в исходную запись.
Нужно сравнить не внешний вид уравнений, а их множества корней. Первое уравнение можно преобразовать делением на 3, а число 3 ненулевое, поэтому такое действие равносильное.
Ответ: уравнения равносильны; их единственный корень — x = 2.
Будем выполнять такие преобразования, которые не изменяют множество корней. Сначала уберём скобки, затем соберём слагаемые с неизвестным в одной части. В конце разделим на ненулевой коэффициент.
Ответ: x = 4.
В системе нужно найти пару, подходящую к обоим уравнениям. При сложении уравнений противоположные слагаемые +y и −y уничтожаются, поэтому остаётся уравнение только с x. После этого найденное значение подставим обратно.
Ответ: (x; y) = (4; 3). Сложение помогло исключить y и свести систему к одному уравнению.
Нельзя делить обе части на выражение с неизвестным, не выяснив, может ли оно быть равно нулю. В таком случае можно потерять корень или изменить множество решений. Проверьте делитель: если он зависит от неизвестного, отдельно рассмотрите случай его равенства нулю.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Ошибка возникает потому, что перенос воспринимают как механическое перемещение, хотя это прибавление противоположного выражения к обеим частям. После переноса проверьте результат обратной подстановкой.
Общий корень ещё не доказывает равносильность уравнений. Одно из них может иметь дополнительные корни, которые не были найдены. Сравнивайте полные множества решений.
В системе найденную пару иногда проверяют только в одном уравнении. Но решение должно удовлетворять каждому уравнению одновременно. Подставьте оба значения во все строки системы.
До изучения темы нужно уметь находить корни линейных уравнений, упрощать выражения и выполнять проверку подстановкой. Эти навыки позволяют уверенно выполнять равносильные преобразования и замечать ошибки в вычислениях.
Равносильность понадобится при решении более сложных уравнений и систем. В частности, при исключении неизвестной важно преобразовывать записи так, чтобы сохранить все общие решения.
Что значит, что два уравнения равносильны?
Это значит, что уравнения имеют одно и то же множество корней. Их запись может отличаться, но каждое решение первого уравнения должно быть решением второго, и наоборот.
Могут ли равносильные уравнения выглядеть совершенно по-разному?
Да, могут. Например, 3x − 6 = 0 и x − 2 = 0 записаны по-разному, но оба имеют единственный корень x = 2.
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?
Деление на ноль не определено: результат такого действия не имеет смысла. Кроме того, выражение, на которое делят, может обращаться в ноль при некоторых корнях, и тогда решение можно потерять.
Как проверить, что пара чисел является решением системы?
Нужно подставить оба числа во все уравнения системы. Если каждое равенство станет верным, пара является решением системы.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это краткая запись прибавления противоположного выражения к обеим частям уравнения. Поэтому слагаемое, например +6, после переноса становится −6, а −y — +y.
10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений
