"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система двух линейных уравнений — это два равенства с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая сразу к обоим уравнениям. Системы помогают найти значения неизвестных, связанные несколькими условиями, например в задаче о покупках или движении. Решать их можно методом подстановки или методом сложения: в обоих случаях систему сводят к уравнению с одной неизвестной, а затем находят вторую и проверяют ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Обычно уравнения системы записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой слева. Скобка показывает: равенства рассматривают вместе, а не выбирают одно из них. В этой теме неизвестные обычно обозначают буквами x и y.
Решение системы — пара значений неизвестных, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Например, запись x = 3, y = 4 означает, что вместо x подставляют 3, а вместо y — 4. Такая пара подходит системе только тогда, когда оба равенства после подстановки верны. Поэтому решение записывают как пару чисел, например (3; 4).
Метод подстановки — способ решения, при котором одну неизвестную выражают через другую, а полученное выражение подставляют во второе уравнение. Так два неизвестных временно заменяются одним, и система сводится к обычному линейному уравнению. Метод особенно удобен, если одна неизвестная уже выражена или её легко выразить.
Метод сложения — способ решения, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну неизвестную. Для этого коэффициенты при ней делают противоположными или одинаковыми. После сложения либо вычитания остаётся уравнение только с одной неизвестной. Метод удобен, когда коэффициенты позволяют легко получить такие пары чисел.
Значения x и y должны удовлетворять обоим уравнениям, потому что система объединяет два условия. Если пара подходит только первому равенству, второе условие всё ещё может нарушаться, и такая пара не решает задачу целиком. Например, равенство x + y = 7 выполняется для многих пар, но не каждая из них удовлетворит ещё одному уравнению. Поэтому найденные числа проверяют в каждом равенстве системы.
При подстановке сначала выбирают уравнение, из которого проще выразить одну неизвестную. Например, из x + y = 7 можно получить y = 7 − x: равенство остаётся верным, поскольку из обеих частей вычли x. Затем выражение 7 − x подставляют вместо y во второе уравнение. Скобки помогают сохранить всё выражение и его знаки, а после подстановки получается уравнение только с x.
Метод сложения основан на том, что равные величины можно складывать почленно: если два равенства верны, верно и равенство, полученное сложением их левых и правых частей. Чтобы исключить неизвестную, нужно добиться противоположных коэффициентов при ней: тогда при сложении её слагаемые взаимно уничтожатся. Если коэффициенты не подходят, уравнение умножают на подходящее число. Умножают обе части целиком, то есть каждое слагаемое, иначе исходное равенство изменится.
Когда одно неизвестное найдено, его значение подставляют в любое исходное уравнение системы, где вычисления проще. В этом равенстве остаётся только вторая неизвестная, и её можно найти обычными преобразованиями. Например, если найдено x, то подстановка x в уравнение с x и y позволяет определить y. Так получают оба числа, необходимые для записи решения.
Проверка завершает решение, потому что отдельные преобразования и вычисления могут содержать ошибку. Подставьте найденную пару сначала в одно исходное уравнение и вычислите обе его части. Затем повторите проверку для второго равенства: в каждом случае левая и правая части должны совпасть. Если хотя бы одно равенство неверно, пара не является решением и вычисления нужно перепроверить.
| Этап или свойство | Метод подстановки | Метод сложения |
|---|---|---|
| Главное действие | Выразить неизвестную и подставить выражение | Сложить или вычесть уравнения |
| Какую неизвестную удобно исключать | Ту, которую проще выразить через другую | Ту, коэффициенты которой проще сделать противоположными или одинаковыми |
| Как получить уравнение с одной неизвестной | Заменить неизвестную её выражением в другом уравнении | Добиться нужных коэффициентов и сложить либо вычесть уравнения |
| Как найти вторую неизвестную | Подставить найденное значение в исходное уравнение | Подставить найденное значение в исходное уравнение |
| Как проверить ответ | Подставить пару в оба исходных уравнения | Подставить пару в оба исходных уравнения |
Сначала посмотрите, можно ли легко выразить одну неизвестную: тогда часто удобна подстановка. Если коэффициенты позволяют быстро исключить неизвестную сложением или вычитанием, выбирайте метод сложения. В обоих случаях обязательно найдите второе значение и проверьте всю пару в исходной системе.
В обоих уравнениях коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому при сложении y исчезнет. Это позволяет сразу получить значение x без предварительного выражения неизвестной. Затем восстановим y из одного исходного уравнения и проверим оба равенства.
Сложим уравнения почленно: (x + y) + (x − y) = 7 + 1. Получим 2x = 8, значит, x = 4.
Подставим x = 4 в первое уравнение: 4 + y = 7, откуда y = 3. Второе уравнение тоже выполняется: 4 − 3 = 1.
Ответ: (4; 3).
Здесь y уже выражена через x, поэтому естественно воспользоваться методом подстановки. Важно подставить всё выражение 2x + 1 вместо y, а не только его часть. После решения уравнения с x найдём y по исходной формуле.
Заменим y во втором уравнении выражением 2x + 1: 3x + (2x + 1) = 11. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 5x + 1 = 11, поэтому 5x = 10 и x = 2.
Подставим найденное x в первое уравнение: y = 2 · 2 + 1 = 5. Проверка во втором уравнении даёт 3 · 2 + 5 = 11.
Ответ: (2; 5).
Чтобы исключить x, умножим первое уравнение на 2: коэффициент при x станет 4, как во втором уравнении. Затем вычтем из второго уравнения полученное первое: слагаемые 4x уничтожатся. После этого найдём y, восстановим x и проверим пару в обоих равенствах.
Умножим первое уравнение целиком на 2: 4x + 6y = 26. Вычтем его из второго: (4x − 5y) − (4x + 6y) = −1 − 26, откуда −11y = −27 и y = 27/11.
Подставим y во второе исходное уравнение: 4x − 5 · 27/11 = −1. Тогда 4x = 124/11, поэтому x = 31/11.
Проверим первое уравнение: 2 · 31/11 + 3 · 27/11 = 143/11 = 13. Во втором получаем 4 · 31/11 − 5 · 27/11 = −11/11 = −1.
Ответ: (31/11; 27/11).
Некоторые считают решением пару, которая подходит только одному уравнению. Так бывает, если проверяют найденные числа лишь в том равенстве, куда их подставляли для вычисления. Но система требует выполнения обоих условий, поэтому проверяйте пару по очереди в каждом исходном уравнении.
При подстановке выражения можно потерять скобки или знак, особенно если перед неизвестной стоит минус. Например, подстановка выражения 2x + 1 вместо y в разность требует записать −(2x + 1), а не −2x + 1. Ошибку допускают, торопясь раскрыть скобки; проверьте, что знак перед скобками изменил знак каждого слагаемого.
При умножении уравнения иногда умножают только коэффициент при неизвестной, забывая остальные слагаемые или правую часть. Тогда получается уже не равносильное исходному уравнение, и дальнейший ответ может быть неверным. Чтобы себя проверить, умножьте на число каждый член обеих частей равенства, включая свободные числа.
После исключения одной неизвестной можно остановиться на найденном значении и забыть найти второе или проверить пару. Одного числа для ответа системы недостаточно: решение записывают двумя значениями. После вычислений подставьте первое найденное число в исходное уравнение, найдите второе и проверьте оба равенства.
Для решения систем нужны навыки решения линейных уравнений с одной неизвестной, преобразования выражений и раскрытия скобок. Эти действия помогают перейти от двух неизвестных к одному уравнению и избежать ошибок со знаками. На координатной плоскости каждое линейное уравнение можно связать с графиком, а решение системы понять как общую точку графиков. Системы также помогают составлять уравнения по условиям задач и готовят к изучению систем с большим числом неизвестных.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Для одного уравнения достаточно, чтобы значение неизвестной делало верным это равенство. Решение системы — пара чисел, которая одновременно подходит каждому уравнению в ней.
Как понять, какое неизвестное удобнее выразить при подстановке?
Удобнее выразить неизвестную, коэффициент при которой равен 1 или −1, либо выражение для которой получится проще. Так легче подставить его в другое уравнение и избежать лишних дробей.
Когда при сложении уравнений нужно сначала умножить одно из них?
Умножение нужно, если коэффициенты при неизвестной, которую хочется исключить, не противоположны и не совпадают. Подберите множитель так, чтобы после умножения коэффициенты стали противоположными для сложения или одинаковыми для вычитания.
Почему при подстановке выражения важно ставить скобки?
Скобки показывают, что подставляется всё выражение целиком. Они помогают правильно раскрыть скобки и не потерять знак, особенно если перед выражением стоит минус или число.
Как проверить, что найденная пара действительно является решением системы?
Подставьте оба найденных числа в первое исходное уравнение и проверьте равенство. Затем так же проверьте второе: только если верны оба равенства, пара является решением системы.
10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
