"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — это два равенства, которые должны выполняться одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая к обоим уравнениям. Каждое такое уравнение задаёт прямую, поэтому число решений зависит от того, как расположены две прямые: пересекаются они, параллельны или совпадают. Это помогает заранее понять, можно ли найти одну пару чисел, не существует ли такой пары или решений бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение первой степени с двумя неизвестными — это уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — заданные числа. Например, 2x + y = 3 — такое уравнение. Оно задаёт связь между двумя числами: одному значению x может соответствовать подходящее значение y. Это определение нужно, чтобы узнавать уравнения, из которых составляют рассматриваемые системы.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — это два уравнения такого вида, которые нужно выполнять одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Каждое из них накладывает своё условие на x и y. Система нужна, когда требуется найти одну пару чисел, подходящую сразу к обоим условиям.
Решение системы — это пара чисел, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Например, пара (1; 2) будет решением только тогда, когда после подстановки x = 1 и y = 2 оба равенства окажутся верными. Поэтому недостаточно проверить пару лишь в одном уравнении. Это определение помогает точно проверить найденный ответ.
Система называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система может иметь как одно решение, так и бесконечно много решений. Несовместность означает, что невозможно подобрать пару чисел, которая удовлетворит обоим уравнениям. Эти слова кратко описывают, существует ли общее решение.
Каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными можно изобразить на координатной плоскости как прямую. Например, если в уравнении выразить y через x, получится формула, по которой можно находить координаты точек. Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет координаты, удовлетворяющие уравнению. Так связь между алгебраическим равенством и графиком становится наглядной.
В системе нужно найти пару чисел, которая подходит сразу к двум уравнениям. На графике эта пара должна быть координатами точки каждой из двух прямых одновременно. Значит, решения системы — это общие точки прямых. Именно поэтому число решений зависит не от количества отдельных решений каждого уравнения, а от взаимного расположения графиков.
Если прямые пересекаются, у них есть ровно одна общая точка. Её координаты удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому система имеет одно решение. Например, для прямых с разными направлениями пересечение не может состоять из нескольких точек: через две разные точки проходит только одна прямая. Координаты пересечения можно найти вычислениями, даже не строя график.
Параллельные прямые, которые не совпадают, не имеют общих точек. Поэтому не существует пары чисел, удовлетворяющей обоим уравнениям, и система несовместна. Если же прямые совпадают, каждая точка одной прямой одновременно принадлежит другой. Тогда система имеет бесконечно много решений — все пары координат точек этой прямой.
Расположение прямых можно определить по коэффициентам, не выполняя построение. Если уравнения записаны как y = kx + b, числа k показывают наклон, а b — точку пересечения с осью y. Разные значения k дают пересекающиеся прямые; одинаковые k и разные b — параллельные прямые; одинаковые k и b — совпадающие прямые. При записи ax + by = c сравнивают отношения коэффициентов при x и y и обязательно учитывают c, иначе можно перепутать параллельные прямые с совпадающими.
| Случай | Взаимное расположение прямых | Число решений |
|---|---|---|
| Прямые пересекаются | Одна общая точка | Одно решение |
| Прямые параллельны и не совпадают | Общих точек нет | Решений нет |
| Прямые совпадают | Все точки прямой общие | Бесконечно много решений |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала выясни, пересекаются ли прямые, параллельны ли они или совпадают. Затем выбери соответствующий случай и прочитай число решений. Если анализируешь уравнения без графика, не делай вывод, пока не проверишь свободные члены.
Определить число решений системы y = x + 1, y = −2x + 4. В обоих уравнениях y уже выражено через x, поэтому можно приравнять правые части. Так мы найдём значение x, при котором обе прямые имеют одинаковое значение y. Затем проверим, даёт ли найденная пара одну общую точку.
Прямые пересекаются в точке (1; 2), значит, общая точка только одна. Ответ: одно решение — пара (1; 2).
Определить число решений системы 2x + y = 3, 4x + 2y = 8. Чтобы понять, задают ли уравнения одну прямую или параллельные прямые, сравним их целиком. Коэффициенты при неизвестных во втором уравнении вдвое больше соответствующих коэффициентов первого. Проверим, вдвое ли больше и свободный член.
Коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены не согласуются. Прямые параллельны и не совпадают. Ответ: решений нет.
Определить число решений системы 3x − 2y = 5, 6x − 4y = 10. Здесь коэффициенты и свободный член второго уравнения могут получиться из первого умножением на одно число. Если это так, оба уравнения задают одну прямую. Проверим это преобразованием, а затем объясним, что оно означает для решения системы.
Уравнения задают одну и ту же прямую, поэтому каждая её точка является общей для обоих графиков. Ответ: бесконечно много решений.
Ошибка — считать, что система имеет решение, потому что каждое уравнение по отдельности можно решить. Ученик может не заметить, что найденные для разных уравнений пары не совпадают. Это происходит, если забыть слово «одновременно» в определении системы. Проверь себя: ищи не просто решения каждого уравнения, а общую пару, подходящую обоим.
Ошибка — подставить предполагаемое решение только в одно уравнение. Так можно принять за ответ пару, которая нарушает второе равенство. Часто это случается из-за того, что вычисления в одном уравнении кажутся достаточным подтверждением. Чтобы проверить себя, подставь оба числа отдельно в каждое уравнение и убедись, что получились верные равенства.
Ошибка — путать параллельные прямые с совпадающими. В обоих случаях направления прямых одинаковы, поэтому ученик может решить, что система обязательно имеет бесконечно много решений. Но параллельные разные прямые не имеют общих точек, а совпадающие имеют все точки общими. Проверь, получаются ли уравнения друг из друга умножением целиком, включая свободный член.
Ошибка — сравнивать только коэффициенты при неизвестных и не учитывать свободные члены. Пропорциональность коэффициентов показывает одинаковое направление прямых, но не говорит, лежат ли они одна на другой. Причина ошибки — стремление сделать вывод по нескольким числам, не проверив всё уравнение. Для самопроверки сравни коэффициенты при x, при y и свободные члены вместе.
Чтобы разобраться в теме, нужно уметь решать линейные уравнения с одной неизвестной и подставлять значения в уравнение. Эти навыки используются, например, когда приравнивают правые части двух уравнений и находят координаты пересечения. Тема соединяет системы уравнений с графиками прямых: каждому уравнению соответствует свой график, а решение связано с их общими точками. Понимание числа решений пригодится при решении систем с параметрами и исследовании взаимного расположения графиков.
Что называется решением системы двух уравнений?
Решение системы — это пара чисел для неизвестных x и y, которая превращает оба уравнения системы в верные равенства. Если пара подходит только к одному уравнению, решением системы она не является.
Почему решения системы можно искать как общие точки двух прямых?
Каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными задаёт прямую, а координаты любой её точки удовлетворяют уравнению. Поэтому точка, лежащая сразу на обеих прямых, даёт пару чисел, подходящую обоим уравнениям.
Как по графикам определить, сколько решений имеет система?
Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет одно решение — координаты этой точки. У параллельных несовпадающих прямых общих точек нет, а совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек.
Может ли система иметь бесконечно много решений?
Да, это происходит, когда оба уравнения задают одну и ту же прямую. Тогда любая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.
Почему пропорциональности коэффициентов при неизвестных недостаточно, чтобы сделать вывод о числе решений?
Пропорциональные коэффициенты при x и y означают, что прямые имеют одинаковое направление. Но они могут быть разными параллельными прямыми или одной и той же прямой. Чтобы различить эти случаи, нужно также сравнить свободные члены.
10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
