"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система уравнений первой степени с тремя неизвестными объединяет несколько линейных уравнений, которые должны выполняться одновременно. Её решение — упорядоченная тройка чисел для x, y и z. Главный приём решения — исключить одну неизвестную сложением или вычитанием уравнений, получить систему с двумя неизвестными, а затем найти оставшееся число и проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с тремя неизвестными — это уравнение вида ax + by + cz = d, где x, y, z — неизвестные, а a, b, c, d — числа. Неизвестные входят только в первой степени: например, нет x², yz или √x. Такой вид помогает применять одинаковые способы преобразования.
Система уравнений первой степени с тремя неизвестными — это несколько линейных уравнений, которые должны выполняться одновременно. Обычно её записывают фигурной скобкой, чтобы показать общую связь уравнений. Нужно найти такие значения x, y и z, которые подходят каждому из них.
Решение системы — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Слово «упорядоченная» означает, что числа стоят не случайно: первое относится к x, второе к y, третье к z. Поэтому ответ всегда нужно записывать вместе с соответствием неизвестным.
Равносильные системы — это системы, имеющие одни и те же решения. При решении можно преобразовывать уравнения, но нельзя незаметно добавить или потерять подходящие тройки. Сохранение равносильности гарантирует, что ответ изменится только по виду записи, а не по содержанию.
Общий вид системы из трёх линейных уравнений можно записать так: ax + by + cz = d, a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂. Одна и та же тройка значений x, y и z должна одновременно удовлетворять всем трём равенствам. Если хотя бы одно равенство неверно, тройка не является решением всей системы.
Ответ записывают именно как (x; y; z), потому что каждое место в тройке имеет своё назначение. Например, запись (2; 5; 1) означает x = 2, y = 5, z = 1, а не просто набор трёх чисел. Перестановка на (5; 2; 1) обычно даёт другие значения неизвестных и потому уже не подходит системе.
Чтобы исключить неизвестную, складывают или вычитают уравнения, предварительно при необходимости умножив их на число. Например, если в двух уравнениях стоят слагаемые +z и −z, их сложение уничтожает z. Это возможно потому, что равные выражения можно складывать, а действие выполняют одновременно с левыми и правыми частями.
Работа обычно идёт в несколько шагов. Сначала исключают одну неизвестную из двух пар уравнений и получают систему с двумя неизвестными, затем решают её известным методом, а после этого подставляют найденные значения в одно из исходных уравнений. Так находится третья неизвестная, которая не была нужна на промежуточном этапе.
Найденную тройку обязательно подставляют во все исходные уравнения. Проверка нужна потому, что ошибка в знаке или вычислении может сохраниться в промежуточных равенствах. Если все три равенства верны, решение подтверждено; если нет, нужно найти место ошибки.
| Ситуация | Что это означает | Как распознать или проверить |
|---|---|---|
| Тройка является решением | Она обращает все уравнения системы в верные равенства. | Подставить x, y и z в каждое исходное уравнение. |
| Система имеет решение | Существует хотя бы одна тройка, подходящая всем уравнениям. | После решения получить тройку и проверить её во всей системе. |
| Система не имеет решений | Не существует ни одной тройки, удовлетворяющей всем уравнениям. | При преобразовании может появиться противоречие, например 0 = 5. |
| Преобразование системы при исключении неизвестной | Уравнения складывают, вычитают или умножают, сохраняя множество решений. | Проверить, что новое уравнение получено из исходных правильно и действие можно обратить. |
Сначала определите, какая неизвестная проще всего исчезает, и выберите для этого подходящие уравнения. После каждого преобразования полезно отдельно проверить знаки и правую часть. Таблица помогает отличить найденную тройку от самой системы и не забыть о финальной проверке.
Решить систему x + y + z = 6, x − y = 0, z = 2. Здесь два уравнения сразу дают значения двух неизвестных, поэтому сложные преобразования не нужны.
Ответ: (2; 2; 2). Проверка: 2 + 2 + 2 = 6, 2 − 2 = 0, z = 2.
Решить систему x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Чтобы убрать z, вычтем первое уравнение из второго, а затем сложим первое и третье.
Ответ: (1; 2; 3). Подстановка даёт три верных равенства, поэтому тройка подходит системе.
Решить систему 2x + y − z = 1, x − 2y + 3z = 9, 3x + y + 2z = 10. Удобно исключить y: вычтем первое уравнение из третьего, а к второму прибавим удвоенное первое.
Ответ: (12/7; 0; 17/7). Проверка в трёх исходных уравнениях подтверждает полученную тройку.
Первая ошибка — считать решением тройку, подходящую только одному уравнению. Так происходит, если проверяют лишь последнее полученное равенство. Подставьте тройку во всю исходную систему, а не только в промежуточные уравнения.
Вторая ошибка — при сложении забыть сложить правые части. Например, из двух равенств нельзя получить новое правильное равенство, изменив только левую часть. Проверяйте действие по строкам: левую часть с левой, правую с правой.
Третья ошибка — неверно поменять знаки при вычитании. Её часто допускают, когда мысленно раскрывают разность двух длинных выражений. Заключайте вычитаемое уравнение в скобки и меняйте знак у каждого его слагаемого.
Четвёртая ошибка — найти x и y, но не определить z. Две найденные координаты ещё не образуют решение системы с тремя неизвестными. Подставьте их в любое удобное исходное уравнение и найдите третью координату.
До этой темы нужно уметь решать линейные уравнения и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Приём исключения продолжает метод сложения, который используется для систем с двумя неизвестными. Системы с тремя неизвестными помогают строить математические модели задач, где одновременно требуется найти три величины.
Что называется решением системы с тремя неизвестными?
Решение системы — это упорядоченная тройка чисел (x; y; z), которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Тройка должна подходить всем уравнениям одновременно.
Почему в решении записывают три числа именно в определённом порядке?
Первое число относится к x, второе — к y, третье — к z. Если переставить числа, каждой неизвестной будут соответствовать другие значения, поэтому решение обычно изменится.
Как исключить одну неизвестную из системы?
Нужно сложить или вычесть уравнения так, чтобы коэффициенты выбранной неизвестной стали противоположными или равными. Тогда эта неизвестная исчезнет, и получится уравнение с двумя неизвестными.
Можно ли складывать любые два уравнения системы?
Да, уравнения можно складывать или вычитать, но действие нужно выполнять полностью: отдельно с левыми и правыми частями. Выбирают обычно те уравнения, при работе с которыми проще исключить нужную неизвестную.
Как проверить, что найденная тройка является решением?
Нужно подставить все три числа в каждое исходное уравнение. Если во всех случаях получаются верные равенства, тройка является решением системы.
10.8. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными
