10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени

Определения и обозначения

Система уравнений первой степени — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе x + y = 10 и x − y = 2 обе записи относятся к одним и тем же x и y. Такое объединение нужно, чтобы учесть сразу несколько условий задачи.

Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Пара x = 6, y = 4 является решением предыдущей системы, потому что подходит и для суммы, и для разности. Проверять нужно все уравнения, а не только одно из них.

Математическая модель задачи — запись условия задачи с помощью неизвестных и уравнений. Она заменяет длинное словесное описание короткими математическими связями. По модели можно выполнить вычисления, а затем перевести найденные числа обратно в ответ задачи.

Как это устроено

Если в ситуации есть две неизвестные величины, одного условия обычно недостаточно: оно задаёт сразу много возможных пар значений. Например, сумма x + y = 20 подходит и для 5 и 15, и для 8 и 12. Второе независимое условие отбирает единственную пару или уточняет круг решений, поэтому ему соответствует второе уравнение системы.

Неизвестными выбирают прежде всего искомые величины, например два числа, скорости или количества предметов. Если другая величина связана с ними простой формулой, её не обязательно обозначать новой буквой: число десятков и единиц записывают через цифры, а пройденное расстояние — через скорость и время. Удобные обозначения уменьшают число вычислений и помогают не потерять смысл условия.

Словесные отношения переводят в равенства буквально, но внимательно следят за порядком величин: «сумма» даёт x + y, а «разность большего и меньшего» — x − y. Для общего количества складывают части, для связи в движении используют формулу s = vt. После составления системы её решают известным способом, а найденные значения истолковывают с учётом единиц измерения и содержания задачи.

Как составить и проверить математическую модель задачи

Таблица показывает общий порядок работы с текстовой задачей. Двигайтесь по этапам слева направо и не переходите к вычислениям, пока каждое условие не получит математическую запись. Проверка нужна, чтобы обнаружить не только арифметическую ошибку, но и неверно понятую связь между величинами.

Разбор задач

Задача 1. Сумма и разность чисел

Сумма двух чисел равна 31, а их разность равна 7. Обозначим числа x и y, причём x — большее число. Тогда условия сразу превращаются в систему x + y = 31 и x − y = 7.

1. Сложим уравнения: 2x = 38, поэтому x = 19.
2. Подставим x в первое уравнение: 19 + y = 31, значит y = 12.
3. Проверим: 19 + 12 = 31 и 19 − 12 = 7.

Ответ: 19 и 12.

Задача 2. Цифры двузначного числа

Сумма цифр двузначного числа равна 11, а после перестановки цифр получается число на 27 меньше исходного. Пусть x — цифра десятков, а y — цифра единиц. Исходное число имеет вид 10x + y, а переставленное — 10y + x.

1. Составим систему: x + y = 11; 10y + x = 10x + y − 27.
2. Упростим второе уравнение: 9x − 9y = 27, откуда x − y = 3.
3. Сложим его с первым уравнением: 2x = 14, x = 7, тогда y = 4.
4. Число 74 после перестановки даёт 47, а 74 − 47 = 27.

Ответ: исходное число 74.

Задача 3. Движение навстречу

Два велосипедиста выехали навстречу из пунктов, расстояние между которыми 180 км, и встретились через 2 часа. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого. Пусть скорости равны x и y км/ч, причём x > y.

1. За 2 часа они вместе прошли 2x + 2y = 180, то есть x + y = 90.
2. Из дополнительного условия получаем x − y = 10.
3. Сложим уравнения: 2x = 100, поэтому x = 50, а y = 40.
4. Проверка: 2 · 50 + 2 · 40 = 180, разность скоростей равна 10.

Ответ: скорости велосипедистов — 50 км/ч и 40 км/ч.

Типичные ошибки

Иногда букву связывают не с той величиной: например, называют x количеством яблок, а затем используют x как цену. Ошибка появляется, когда обозначения не записывают перед решением. Проверьте себя: рядом с каждой буквой словами укажите её смысл и единицу измерения.

При записи разности можно перепутать порядок: «на 7 больше» означает x − y = 7, если x — большая величина. Такой промах меняет знак и даёт другой результат. Перечитайте условие и подставьте найденные числа в исходную фразу.

Пара чисел может удовлетворять одному уравнению, но не удовлетворять второму. Это не решение системы, потому что все условия должны выполняться одновременно. Подстановка в каждое уравнение сразу показывает такую ошибку.

Нельзя ограничиваться вычислениями и записывать ответ без смысловой проверки. Полученное расстояние не может быть отрицательным, цифра должна быть целой, а скорость — иметь подходящие единицы измерения. Сверьте результат с каждым пунктом исходного условия.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь обозначать неизвестные и решать линейные уравнения. Эти навыки нужны при преобразовании каждого уравнения системы.

Составление системы опирается на способы её решения: подстановку, сложение и проверку. Без проверки нельзя быть уверенным, что вычисленная пара действительно является решением.

Такая модель встречается в задачах на числа, движение и совместную работу. Один и тот же алгоритм помогает переводить разные жизненные ситуации на язык уравнений.

Что запомнить

• Каждое уравнение системы выражает отдельное условие задачи.
• Неизвестные нужно выбрать так, чтобы ими было удобно описать все искомые величины.
• Решение задачи состоит из составления системы, её решения и проверки.
• Найденные значения должны удовлетворять всем уравнениям одновременно.
• Проверяй ответ не только вычислениями, но и по смыслу исходного условия.
• В ответе указывай величины и единицы измерения, если они заданы.