46. Способ подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же переменными, которые нужно выполнить одновременно. Например, в системе с x и y найденная пара чисел должна подходить и к первому, и ко второму уравнению. Это требование отличает решение системы от решения одного уравнения: недостаточно проверить только одно равенство.

Решение системы — набор значений переменных, при подстановке которого каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Если переменных две, решение обычно записывают парой (x; y), где на первом месте стоит значение x, а на втором — значение y. Такое обозначение помогает не перепутать, какое число относится к каждой переменной.

Способ подстановки — способ решения системы, при котором из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют её выражение вместо этой переменной в другое уравнение. Так два неизвестных сменяются одним, и систему можно решить обычными преобразованиями уравнения. Затем находят вторую переменную и проверяют всю пару в исходной системе.

Как это устроено

Сначала выбирают уравнение, из которого проще выразить переменную. Особенно удобно, если переменная уже стоит отдельно или её коэффициент равен 1 либо −1: тогда обычно не появляются дроби. Например, из x − y = 2 легко получить x = y + 2. Если выражать переменную с неудобным коэффициентом, вычисления могут стать длиннее, хотя способ всё равно будет работать.

Выражая переменную, выполняют одинаковые преобразования с обеими частями уравнения. Например, если из x + 3y = 8 нужно выразить x, вычитают 3y из обеих частей и получают x = 8 − 3y. При переносе слагаемого на другую сторону равенства его знак меняется именно потому, что фактически к обеим частям прибавили противоположное число. Этот смысл помогает не ошибиться со знаками.

Затем найденное выражение подставляют во второе уравнение вместо выбранной переменной. Если x = 8 − 3y, то вместо каждого x во втором уравнении пишут 8 − 3y, причём выражение заключают в скобки, когда перед ним стоит число или знак. Скобки показывают, что умножается или меняет знак всё выражение целиком, а не только его первый член. После подстановки остаётся уравнение с одной переменной.

Решив это уравнение, находят значение одной переменной. Подставлять полученное число нужно в выражение, найденное на первом шаге, чтобы вычислить вторую переменную. Например, если вышло y = 1, а x = 8 − 3y, то x = 8 − 3 · 1 = 5. Подстановка в удобное выражение обычно проще, чем повторное решение исходного уравнения.

В конце проверяют пару в обоих исходных уравнениях. Для этого вместо переменных подставляют найденные числа и считают левую и правую части отдельно. Если каждое равенство верно, пара является решением системы; если одно равенство неверно, нужно искать ошибку в преобразованиях или вычислениях. Проверка особенно полезна, потому что один неверный знак может изменить весь ответ.

Шаги способа подстановки

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему шагу, когда закончил предыдущий. Если при выражении переменной появляются неудобные дроби, попробуй выразить другую переменную или выбрать другое уравнение. Проверка относится к исходным уравнениям, а не только к уравнению, которое получилось после подстановки.

Разбор задач

Решим систему 2x + y = 7, x − y = 2. Нужно найти такую пару (x; y), чтобы оба равенства стали верными. Во втором уравнении переменная x имеет коэффициент 1, поэтому её удобно выразить. Это позволит подставить простое выражение в первое уравнение.

1. Выразим x из уравнения x − y = 2. Прибавим y к обеим частям: x = y + 2. Теперь известно, чему равно x при любом подходящем значении y. Именно это выражение заменит x в первом уравнении.

2. Подставим x = y + 2 в уравнение 2x + y = 7. Получим 2(y + 2) + y = 7. Скобки нужны потому, что всё выражение y + 2 умножается на 2; раскрывая их, получаем 2y + 4 + y = 7.

3. Сложим подобные слагаемые и решим уравнение с одной переменной: 3y + 4 = 7, значит 3y = 3 и y = 1. Прибавление или вычитание одного и того же числа в обеих частях сохраняет равенство. Делим обе части на 3, поэтому получаем значение y, которое подходит полученному уравнению.

4. Найдём x по выражению x = y + 2. Подставим y = 1: x = 1 + 2 = 3. Значения обеих переменных теперь известны, но до проверки пока нельзя считать работу законченной.

5. Проверим пару (3; 1) в исходной системе. Первое уравнение даёт 2 · 3 + 1 = 7, второе — 3 − 1 = 2, оба равенства верны. Значит, найденная пара действительно является решением системы.

Ответ: (3; 1). Порядок чисел важен: 3 — значение x, а 1 — значение y. Проверка подтверждает, что пара удовлетворяет не только уравнению после подстановки, но и обоим исходным уравнениям.

Типичные ошибки

• Неверно выражают переменную. Ошибка возникает, когда при переносе слагаемого забывают изменить знак. Чтобы проверить себя, подставь полученное выражение в исходное уравнение и убедись, что равенство сохраняется: например, x − y = 2 действительно превращается в x = y + 2.

• Подставляют выражение без скобок. Если вместо x стоит y + 2, то запись 2(y + 2) означает удвоение всего выражения, а 2y + 2 — уже другое действие. Скобки часто забывают, потому что подстановка кажется простой заменой. Проверь, умножается ли или меняет знак всё выражение целиком.

• Находят только одну переменную. После решения уравнения с одной переменной некоторые останавливаются, хотя система требует пару значений. Причина — этот промежуточный результат принимают за готовый ответ. Проверь, записаны ли оба числа и понятно ли, какое из них относится к x, а какое к y.

• Не проверяют ответ в обоих уравнениях. Пара может подходить к преобразованному уравнению, но из-за ошибки раньше не удовлетворять исходной системе. Чтобы заметить это, отдельно вычисли обе части каждого исходного равенства. Ответ верен только тогда, когда оба равенства становятся верными.

Связь с другими темами

Способ подстановки опирается на умение решать линейные уравнения и выполнять преобразования равенств: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые. Он также связан с понятием системы уравнений, потому что нужно найти общие значения переменных, подходящие всем уравнениям сразу. В задачах с текстом система описывает две неизвестные величины, а найденную пару можно проверить по условиям задачи. Выбор удобного уравнения для выражения переменной помогает сократить вычисления.

Что запомнить

• Вырази одну переменную через другую из того уравнения, где это проще сделать.

• Подставь полученное выражение во второе уравнение и реши уравнение с одной переменной.

• Вычисли вторую переменную и запиши ответ парой (x; y), соблюдая порядок.

• Проверь найденную пару в каждом исходном уравнении.