45. Система линейных уравнений. Графическое решение системы

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Решением такого уравнения называют пару чисел, которая превращает его в верное равенство. Например, для уравнения x + y = 4 пара (1; 3) подходит, потому что 1 + 3 = 4. Такие пары позволяют увидеть все решения на координатной плоскости.

Решение системы линейных уравнений — пара значений переменных, которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Недостаточно проверить пару только в одном уравнении: она должна подходить ко всем уравнениям. Например, в системе из двух уравнений нужно подставить значения x и y в оба равенства. Это определение помогает отличить решение системы от решения отдельного уравнения.

График линейного уравнения с двумя переменными — прямая, состоящая из точек, координаты которых являются решениями уравнения. Каждая отмеченная на ней точка соответствует подходящей паре чисел, а любая точка вне прямой уравнению не удовлетворяет. График заменяет длинный список решений на наглядное изображение. По нему удобно сравнивать решения двух уравнений.

Графическое решение системы — нахождение её решений по общей точке графиков уравнений системы. Для этого графики строят на одной координатной плоскости и ищут точки, принадлежащие обеим прямым. Если общая точка одна, она задаёт одну пару-решение. Если прямые совпали, общей точкой является каждая точка этой прямой.

Как это устроено

Почему множество решений линейного уравнения образует прямую? Если b не равно нулю, уравнение можно преобразовать к виду y = kx + m: каждому значению x соответствует ровно одно значение y, причём изменение x каждый раз одинаково влияет на y. Это и есть линейная зависимость, графиком которой служит прямая. Если b равно нулю, то a не равно нулю, и уравнение задаёт вертикальную прямую x = c/a. Для построения достаточно найти две разные пары решений: через две точки проходит единственная прямая.

Решение системы должно подходить к обоим уравнениям, потому что слова «решение системы» означают выполнение всех её условий сразу. На графике первое уравнение задаёт одну прямую, второе — другую. Точка первой прямой удовлетворяет первому уравнению, а точка второй — второму. Поэтому общей парой решений может быть только точка, принадлежащая обеим прямым.

Чтобы найти решение графически, сначала вырази одну переменную через другую, если это удобно, или подбери пары чисел для каждого уравнения. Построй обе прямые в одной системе координат и отметь место их встречи. Затем прочитай координаты этой точки: сначала x, затем y. Подстановка пары в исходные уравнения проверяет, верно ли построены графики и правильно ли считаны координаты.

Количество решений зависит от того, как расположены прямые. Если они пересекаются, у них есть ровно одна общая точка, значит, существует одна пара, подходящая обоим уравнениям. Параллельные прямые не встречаются, поэтому общей пары нет. Если прямые совпадают, каждую их точку можно считать общей, и система имеет бесконечно много решений.

Рисунок не всегда позволяет прочитать координаты точно: точка может оказаться между делениями, а линии имеют толщину. В таком случае по графику можно определить примерное место пересечения, но не обязательно точную пару чисел. Например, трудно уверенно отличить координату 1,4 от 1,5, если масштаб крупный. Для точного ответа используют проверку подстановкой или другие способы решения системы.

Взаимное расположение графиков и число решений системы

Сначала определи, есть ли у прямых общие точки, а затем выбери соответствующую строку таблицы. Не смешивай параллельные прямые с совпадающими: у первых общих точек нет, у вторых общая каждая точка. Если прямые пересекаются, координаты единственной общей точки и будут решением системы.

Разбор задач

Постройте графики уравнений y = x и y = 3 − x и найдите решение системы.

1. Для первой прямой выберем x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 0) и (2; 2), потому что y равен x. Отметим их и проведём через них прямую.

2. Для второй прямой удобно взять x = 0 и x = 3. Тогда y равен 3 и 0, поэтому получаются точки (0; 3) и (3; 0). Отметим эти точки на тех же осях и проведём вторую прямую.

3. По построению прямые пересекаются в точке (1; 1). Проверим: в первом уравнении 1 = 1, а во втором 1 = 3 − 1. Значит, пара удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: (1; 1).

Графически решите систему y = 2x − 1 и y = −x + 5.

1. Для прямой y = 2x − 1 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; −1) и (2; 3), по которым можно провести её график. Подбор удобных значений помогает построить линию без сложных вычислений.

2. Для прямой y = −x + 5 возьмём x = 0 и x = 4. Это даст точки (0; 5) и (4; 1). Построим её в той же системе координат и том же масштабе, что и первую.

3. На графике точка пересечения имеет координаты (2; 3). Проверим первую формулу: 3 = 2 · 2 − 1. Проверим вторую: 3 = −2 + 5; оба равенства верны.

Ответ: (2; 3).

Для системы y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2 определите число решений графически.

1. Первое уравнение уже задано в виде y = kx + b. Во втором разделим обе части на 2 и получим y = 2x + 1. Преобразование не меняет решений равенства, потому что обе его части разделены на одно и то же ненулевое число.

2. После преобразования обе формулы задают одну и ту же зависимость y от x. Значит, при любом подходящем x значение y у обеих прямых одинаково, и их графики совпадут. На чертеже линии могут выглядеть как одна прямая.

3. У совпадающих прямых бесконечно много общих точек. Каждая из них даёт пару, удовлетворяющую обоим уравнениям системы, поэтому единственного ответа здесь нет.

Ответ: бесконечно много решений.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать решением пары координат, подходящую только к одной прямой. Такое случается, если ученик проверил лишь одно уравнение или принял точку графика за ответ системы. Проверяй пару подстановкой в каждое уравнение: все равенства должны быть верными. На чертеже ответ должен лежать одновременно на обоих графиках.

Иногда прямые строят в разных системах координат или в разных масштабах. Тогда их взаимное расположение невозможно надёжно сравнить: положение точек на отдельных рисунках не показывает, где линии пересеклись бы вместе. Строй оба графика на одних осях и сохраняй один масштаб. Перед чтением ответа проверь, что на координатной плоскости присутствуют обе прямые.

Ещё одна ошибка — записать координаты, приблизительно считанные с рисунка, как точные. Пересечение может находиться между делениями, и глаз легко ошибается. Подставь пару в оба уравнения: неверное равенство покажет, что результат нужно уточнить. Если проверка не проходит, не округляй ответ произвольно, а пересмотри построение или реши систему другим способом.

Параллельные прямые иногда принимают за совпадающие, потому что на неудачном рисунке линии могут идти очень близко. У параллельных прямых нет общих точек, а у совпадающих общими являются все точки. Чтобы не перепутать их, сравни направления и проверь, лежат ли точки одной прямой на другой. В первом случае решений нет, во втором — бесконечно много.

Связь с другими темами

Для построения графиков нужны навыки работы с координатной плоскостью: умение отмечать точки по координатам и строить график линейной функции по формуле. Также пригодится выражение одной переменной через другую: так уравнение можно представить в виде, удобном для построения. Подстановка выбранного значения переменной и вычисление выражения дают координаты точек прямой. Позже графики систем помогут сравнивать несколько зависимостей и выбирать способы решения задач, в которых условия описаны несколькими уравнениями.

Что запомнить

• График линейного уравнения с двумя переменными — прямая.
• Решение системы — общая точка графиков её уравнений.
• Пересекающиеся прямые дают одно решение.
• Параллельные непересекающиеся прямые означают, что решений нет.
• Совпадающие прямые дают бесконечно много решений.
• Координаты, прочитанные по графику, полезно проверить подстановкой в оба уравнения.

Как это устроено

Схема показывает, как пересечение графиков помогает найти пару, подходящую сразу к двум уравнениям.