"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Система линейных уравнений — это несколько уравнений с общими переменными, которые нужно выполнить одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая каждому уравнению. Системы помогают находить неизвестные величины в задачах, а на координатной плоскости их решение связано с пересечением прямых. Для решения используют графический способ, подстановку и сложение: выбор зависит от вида уравнений, но найденную пару всегда проверяют.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными записывают в виде ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа, называемые коэффициентами и свободным членом. Например, 2x − 3y = 6 — такое уравнение. Оно связывает значения двух переменных: если выбрать значение одной, часто можно подобрать значение другой. Эта запись помогает увидеть, какие величины нужно искать в задаче.
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при подстановке которой получается верное равенство. Например, для уравнения x + y = 5 пара (2; 3) подходит, потому что 2 + 3 = 5. Порядок чисел важен: первое значение относится к x, второе — к y. Понятие решения позволяет отличить подходящие пары от тех, которые не удовлетворяют уравнению.
Система линейных уравнений с двумя переменными — это несколько линейных уравнений, которые требуется выполнить одновременно. Решением системы называют пару значений x и y, удовлетворяющую каждому её уравнению. Например, недостаточно, чтобы пара подошла только первому уравнению: она должна подойти и второму. Так записывают условие, когда одни и те же неизвестные связаны сразу несколькими требованиями.
Равносильные системы — это системы, у которых одни и те же решения. Значит, одну такую систему можно заменить другой, если при замене не теряются подходящие пары и не появляются лишние. Это нужно, чтобы упростить вычисления, сохранив исходную задачу. В конце полезно убедиться, что полученная пара подходит первоначальным уравнениям.
Если в уравнении ax + by = c выразить y, получится y = (c − ax)/b, когда b не равно нулю. Это зависимость вида y = kx + m, а её график — прямая: при изменении x значение y меняется с постоянной скоростью. Чтобы построить такую прямую, выбирают два значения x, вычисляют соответствующие y и отмечают полученные точки на координатной плоскости. Через две разные точки проводят прямую, потому что именно одна прямая проходит через них.
Каждое уравнение системы задаёт свой график, а любая точка на этом графике соответствует решению уравнения. Поэтому пара, подходящая обоим уравнениям, задаёт точку, которая находится на обоих графиках, то есть их общую точку. Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку и дают одно решение. Параллельные прямые не имеют общих точек, а совпадающие состоят из одних и тех же точек, поэтому решений у системы соответственно нет или бесконечно много.
Метод подстановки удобен, когда одну переменную можно легко выразить через другую. Выражение подставляют вместо этой переменной во второе уравнение, и система превращается в уравнение с одной переменной. Решив его, находят оставшуюся переменную по первоначальному выражению. Затем проверяют пару: подстановка в исходные уравнения подтверждает, что в преобразованиях не закралась ошибка.
При методе сложения стараются исключить одну переменную, то есть получить уравнение, в котором её уже нет. Для этого уравнения при необходимости умножают на числа, чтобы коэффициенты этой переменной стали противоположными. При сложении такие слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся уравнение с одной переменной. Найдя её, вычисляют вторую переменную подстановкой в любое исходное уравнение.
Преобразования системы должны сохранять её решения: иначе можно получить ответ, который относится уже к другой задаче. Например, умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет его решений, а неверное преобразование способно их изменить. Поэтому действия выполняют над равенствами целиком и аккуратно следят за знаками. Проверка пары в обоих исходных уравнениях — простой способ обнаружить ошибку и подтвердить ответ.
| Способ | Основная идея | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Графический | Построить обе прямые и найти их общую точку | Когда нужно увидеть число решений или координаты точки легко считываются с графика |
| Подстановка | Выразить одну переменную и подставить выражение в другое уравнение | Когда в одном из уравнений переменную легко выразить |
| Сложение | Умножить уравнения при необходимости и сложить их, исключив одну переменную | Когда коэффициенты переменных легко сделать противоположными |
Сначала оцените вид уравнений: можно ли быстро выразить переменную или подобрать множители для сложения. Если важна наглядность, постройте графики, но помните, что координаты по рисунку иногда определяются приблизительно. Таблица помогает выбрать удобный путь, однако каждый способ приводит к одному и тому же решению системы.
Задача 1. Решить графически систему y = x + 1, y = −x + 3. Нужно построить прямые и найти точку, лежащую на обеих. Для первой прямой подойдут точки (0; 1) и (2; 3), а для второй — (0; 3) и (2; 1). Отметим пары и проведём через точки соответствующие прямые.
Обе формулы дают одно и то же значение y, поэтому точка пересечения подходит обоим уравнениям. Ответ: (1; 2).
Задача 2. Решить методом подстановки систему y = 2x − 1, x + y = 8. В первом уравнении y уже выражена через x, значит, подставим вместо y выражение 2x − 1 во второе уравнение. Так мы сведём задачу к одному уравнению с одной переменной.
Пара удовлетворяет обоим равенствам, следовательно, она является решением системы. Ответ: (3; 5).
Задача 3. Решить методом сложения систему 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5. Коэффициенты при y уже противоположны: это 3 и −3. При сложении соответствующие слагаемые исчезнут, поэтому можно сразу сложить уравнения, не умножая их предварительно.
Обе части системы выполняются для найденной пары. Ответ: (3; 7/3).
Иногда пару проверяют только в одном уравнении и объявляют решением всей системы. Так происходит, если забыть, что требования должны выполняться одновременно. Подставьте оба значения в каждое исходное уравнение и убедитесь, что получились верные равенства.
При подстановке выражения вместо переменной можно потерять скобки: например, x − (2x − 1) ошибочно превратить в x − 2x − 1. Ошибку часто допускают из-за невнимания к знаку перед скобками. Раскрывайте скобки отдельно и проверяйте, что при минусе знаки всех слагаемых внутри изменились.
При сложении иногда складывают только удобные слагаемые, забывая остальные члены или правые части. Тогда вместо верного следствия системы получается другое равенство. Запишите сложение в скобках целиком: левая часть плюс левая часть равна правой части плюс правая часть.
Умножая уравнение на число, можно изменить не все его члены, например забыть умножить свободный член справа. Это случается, когда внимание сосредоточено только на коэффициенте нужной переменной. После умножения проверьте каждый член слева и справа: у всех должен быть один и тот же множитель.
Для решения систем нужны навыки работы с линейными уравнениями с одной переменной и преобразованиями выражений: они помогают аккуратно переносить и объединять слагаемые. Графический способ опирается на координатную плоскость и умение строить графики линейных уравнений. В дальнейшем системы пригодятся, когда по условию текстовой задачи нужно найти сразу две неизвестные величины. Это связывает алгебраические вычисления с составлением математических моделей.
Что означает решить систему уравнений?
Нужно найти все пары значений переменных, которые превращают каждое уравнение системы в верное равенство. У системы может быть одно решение, не быть решений или быть бесконечно много решений.
Почему графическое решение системы — это точка пересечения прямых?
Каждая точка на графике уравнения имеет координаты, удовлетворяющие этому уравнению. Точка пересечения лежит сразу на обоих графиках, поэтому её координаты подходят обоим уравнениям.
Как понять, какой способ решения системы удобнее?
Посмотрите на коэффициенты и на то, можно ли легко выразить одну переменную. Если выразить её просто, удобно применить подстановку; если коэффициенты можно сделать противоположными — сложение. Графический способ полезен, когда нужно наглядно увидеть число решений или точку легко определить по рисунку.
Что делать, если перед сложением уравнений коэффициенты не противоположны?
Умножьте одно или оба уравнения на подходящие числа, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными. При умножении обязательно умножайте на это число все слагаемые обеих частей уравнения.
Почему найденную пару нужно проверить в обоих уравнениях?
Во время преобразований можно допустить вычислительную ошибку или неверно переписать выражение. Подстановка пары в оба исходных уравнения показывает, действительно ли она удовлетворяет всей системе.
§ 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
