"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Система линейных уравнений — это несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решение — пара чисел, подходящая каждому уравнению. Системы помогают находить величины, связанные сразу несколькими условиями, например решать текстовые задачи. Чтобы решить систему, можно выразить неизвестную и подставить её в другое уравнение или сложить уравнения так, чтобы одна неизвестная исчезла. Число решений можно понять и по расположению соответствующих прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — заданные числа. Числа a и b называют коэффициентами при неизвестных, c — свободным членом. Коэффициент показывает, с каким множителем неизвестная входит в уравнение, и вместе с другими числами определяет его решения.
Система линейных уравнений — это несколько линейных уравнений, которые рассматривают вместе. Неизвестные в них общие, а равенства должны выполняться одновременно. Такая запись нужна, когда условие задачи задаёт сразу несколько связей между величинами.
Решение системы — пара значений неизвестных, превращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Для неизвестных x и y пару записывают как (x; y): порядок важен, потому что числа относятся к разным буквам. Это определение помогает отличить общий ответ системы от ответа лишь одного уравнения.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают множества решений. Их можно заменять друг другом при решении, если преобразования не добавляют новых решений и не теряют исходные. Так удобнее переходить к более простым уравнениям, сохраняя ответ.
Пара должна удовлетворять обоим уравнениям, потому что система объединяет условия, которые действуют одновременно. Если пара подходит только первому уравнению, второе условие остаётся невыполненным. Например, найденные значения тогда не описывают ситуацию, в которой должны соблюдаться обе связи между величинами.
Преобразования помогают упростить запись, не меняя ответ. Можно перенести слагаемое в другую часть уравнения, поменяв его знак, или умножить обе части равенства на одно и то же ненулевое число. Такие действия дают равносильную систему: каждое её решение подходит исходной, и наоборот.
При методе подстановки из одного уравнения выражают одну неизвестную, а полученное выражение подставляют вместо неё в другое уравнение. Так две неизвестные сводятся к одной, и становится возможным решить обычное уравнение. Найденное значение подставляют обратно, чтобы определить вторую неизвестную; без этого получится только часть пары, а не решение системы.
При методе сложения уравнения складывают так, чтобы коэффициенты одной неизвестной взаимно уничтожились. Если коэффициенты не противоположны, одно или оба уравнения предварительно умножают на подходящие числа. Складывать удобно, потому что равенства можно сложить почленно, а затем остаётся уравнение с одной неизвестной.
Геометрически каждое уравнение с двумя неизвестными задаёт прямую, а решение системы — общую точку этих прямых. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку, параллельные несовпадающие не имеют общей точки, а совпадающие состоят из одних и тех же точек. Поэтому расположение прямых показывает, будет одно решение, ни одного или бесконечно много.
| Взаимное расположение прямых | Соотношение коэффициентов | Число решений |
|---|---|---|
| Прямые пересекаются | Коэффициенты при x и y не пропорциональны | Одно |
| Прямые параллельны и не совпадают | Коэффициенты при x и y пропорциональны, свободные члены — нет | Нет решений |
| Прямые совпадают | Коэффициенты при x, y и свободные члены пропорциональны | Бесконечно много |
Для сравнения запиши уравнения в виде a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂. Если соответствующие коэффициенты пропорциональны, прямые могут совпасть или быть параллельными: сравни также свободные члены. Если коэффициенты при x и y не пропорциональны, прямые пересекаются в одной точке.
При сложении уравнений y и −y уничтожаются, поэтому начнём с метода сложения. Так сразу найдём x, а затем вернёмся к одному из исходных уравнений, чтобы определить y. В конце проверим пару в обоих равенствах.
Проверка: 4 + 3 = 7, а 4 − 3 = 1. Оба равенства верны, поэтому ответ — (4; 3).
В первом уравнении коэффициент при y равен 1, поэтому y легко выразить. Подстановка такого выражения во второе уравнение оставит только x. После этого восстановим y и проверим оба исходных равенства.
Проверка: 2 · 3 + 2 = 8, а 3 − 2 · 2 = −1. Значит, оба уравнения выполнены, и ответ — (3; 2).
Чтобы узнать число решений, сравним уравнения, а не будем искать отдельную пару. Если первое уравнение получается из второго умножением на ненулевое число, они задают одну и ту же прямую. Тогда любая точка этой прямой подходит обоим уравнениям.
Ответ: бесконечно много решений. Например, (3; 0) подходит, но ею решения не ограничиваются: подойдут любые значения x и y, для которых x + 2y = 3.
Можно принять за решение пару, которая удовлетворяет только одному уравнению. Такое случается, если после первого вычисления забыть, что в системе есть ещё одно условие. Подставь найденные числа отдельно в каждое исходное уравнение: оба равенства должны оказаться верными.
При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется, и эту перемену легко пропустить. В результате получается другое уравнение и неверная пара. Проверяй преобразование подстановкой в исходную систему, а при сомнении выполни действие с обеими частями равенства.
При умножении уравнения иногда умножают только коэффициенты при неизвестных, забывая свободный член. Причина ошибки — воспринимать уравнение как набор отдельных чисел, а не как равенство двух выражений. Умножай все слагаемые слева и всю правую часть на одно число, затем проверь равносильность делением на него.
После исключения одной неизвестной можно остановиться, не вычислив вторую. Полученное значение — лишь одна координата, а решение системы должно быть парой. Подставь найденное число в исходное уравнение и проверь готовую пару в обоих уравнениях.
Для решения систем нужно уметь преобразовывать линейные уравнения и выражать одну переменную через другую. Эти навыки нужны в методе подстановки и при подготовке уравнений к сложению. Если преобразования выполняются аккуратно, меньше риск потерять решение или получить лишнее.
Системы помогают решать текстовые задачи, в которых есть две неизвестные и два условия. Например, можно обозначить неизвестные величины буквами, записать для каждой связи уравнение и решить полученную систему. После вычислений ответ полезно проверить по смыслу задачи.
Эта тема подготавливает к системам нелинейных уравнений, в которых встречаются, например, произведения неизвестных или их степени. Представление о решении как об общей паре и о числе решений остаётся полезным. Также пригодится геометрический взгляд: уравнения могут задавать линии, имеющие одну или несколько общих точек.
Почему решение системы записывают парой чисел?
В системе с неизвестными x и y нужно указать значение каждой из них. Поэтому решение записывают парой (x; y), причём первое число относится к x, второе — к y.
Как проверить, подходит ли найденная пара?
Подставь первое число вместо x, а второе — вместо y в каждое исходное уравнение. Если в обоих случаях получились верные равенства, пара подходит.
Как выбрать между методом подстановки и методом сложения?
Подстановка удобна, если одну неизвестную легко выразить из уравнения. Сложение часто проще, когда коэффициенты при одной неизвестной уже противоположны или их легко сделать такими.
Можно ли умножить одно уравнение системы на число?
Да, можно умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число: множество его решений не изменится. При этом нужно умножить каждый член уравнения, включая правую часть.
Как понять, что система не имеет решений или имеет их бесконечно много?
Если уравнения задают параллельные несовпадающие прямые, у них нет общей точки и система не имеет решений. Если прямые совпадают, уравнения задают одну линию, поэтому общих решений бесконечно много.
§ 4. Системы линейных уравнений
