Делимость многочленов

Определения и обозначения

Делимость многочленов означает, что один многочлен можно представить как произведение другого многочлена и некоторого третьего. Если A(x) = B(x)Q(x), то говорят, что A(x) делится на B(x) без остатка. Это определение связывает деление с уже знакомым умножением: чтобы проверить делимость, достаточно найти такое произведение.

Делителем многочлена называют многочлен, на который делят без остатка. В равенстве A(x) = B(x)Q(x) делитель — это B(x), а исходный многочлен — A(x). Такое обозначение помогает не перепутать, какое выражение нужно разложить или проверить.

Частное многочленов — это многочлен-множитель, который вместе с делителем даёт исходный многочлен. В записи A(x) = B(x)Q(x) частным является Q(x). Оно показывает, на какой множитель нужно умножить делитель, чтобы получить A(x).

Остаток при делении многочленов — часть результата, которая остаётся после выделения частного. Деление с остатком записывают так: A(x) = B(x)Q(x) + R(x), где R(x) — остаток. Если деление нацело, остаток равен нулю, и остаётся равенство A(x) = B(x)Q(x).

Как это устроено

Делимость удобно понимать через умножение, потому что умножение позволяет проверить результат обратно. Если A(x) = B(x)Q(x), то B(x) и Q(x) при перемножении дают именно A(x), поэтому B(x) — делитель, а Q(x) — частное. Например, равенство x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) сразу показывает делимость на x − 2.

Чтобы проверить, делится ли многочлен на предполагаемый делитель, нужно представить исходное выражение в виде произведения, где один множитель совпадает с делителем. Иногда для этого сначала раскладывают многочлен на множители, а затем сравнивают их. Если нужный множитель не удаётся получить, делимость этим способом не подтверждена; найденное разложение можно проверить раскрытием скобок.

При делении с остатком исходный многочлен записывают как A(x) = B(x)Q(x) + R(x). Остаток выбирают так, чтобы его степень была меньше степени делителя: тогда дальнейшее выделение множителя из остатка уже невозможно. Если R(x) = 0, деление нацело; если остаток не нулевой, равенство всё равно описывает результат деления.

Особенно просто искать остаток при делении на двучлен x − a. В записи A(x) = (x − a)Q(x) + R(x) подставим x = a: множитель x − a обратится в ноль, и останется A(a) = R(a). Остаток здесь — постоянное число, поэтому R(a) просто равно самому остатку; выходит, что остаток при делении равен A(a).

Из этого следует практический признак: если A(a) = 0, то остаток равен нулю и A(x) делится на x − a. Значит, x − a можно вынести за скобки как множитель, а оставшееся частное найти делением. При поиске линейных множителей проверяют возможные значения a подстановкой, а затем раскладывают полученное частное, если это возможно.

Деление многочлена на многочлен

Сравни строки таблицы, чтобы выбрать подходящий способ проверки. Для делителя x − a особенно полезна подстановка x = a: она позволяет найти остаток, не выполняя деление столбиком. В последней строке проверяется именно условие делимости, а не только значение остатка.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, делится ли x² − 5x + 6 на x − 2, и найти частное, если делится.

1. Разложим исходный многочлен на множители: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), потому что произведение даёт средний член −5x и свободный член 6.
2. Сравним один из множителей с предполагаемым делителем: среди множителей есть x − 2, значит, деление выполняется нацело.
3. Оставшийся множитель x − 3 является частным. Проверка умножением возвращает исходный многочлен.

Ответ: делится; частное — x − 3.

Задача 2. Определить остаток от деления 2x³ − 3x + 1 на x − 2.

1. Делитель имеет вид x − a, где a = 2, поэтому остаток равен значению исходного многочлена при x = 2.
2. Подставим число: 2 · 2³ − 3 · 2 + 1 = 16 − 6 + 1 = 11.
3. Значение не равно нулю, следовательно, деление не нацело, а полученное число является остатком.

Ответ: остаток равен 11.

Задача 3. Разложить x³ − 4x² + x + 6 на множители, если известно, что один из множителей — x − 2.

1. Сначала проверим условие подстановкой x = 2: 2³ − 4 · 2² + 2 + 6 = 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Значит, x − 2 действительно является множителем.
2. Разделим исходный многочлен на x − 2; частное равно x² − 2x − 3. Проверка: (x − 2)(x² − 2x − 3) раскрывается в исходный кубический многочлен.
3. Разложим квадратный трёхчлен: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1), поскольку произведение даёт −3, а сумма чисел 1 и −3 равна −2.

Ответ: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x − 3)(x + 1).

Типичные ошибки

Ошибка — считать делимостью саму возможность выполнить деление. При делении можно получить частное и ненулевой остаток, но тогда деления нацело нет. Причина ошибки в том, что слово «делится» принимают за обычное действие, а не за точное равенство A(x) = B(x)Q(x). Проверь себя: остаток должен быть равен нулю, а частное — оставаться многочленом.

Можно перепутать делитель и частное в равенстве A(x) = B(x)Q(x). Обычно это случается, когда обозначения B и Q не соотносят с их ролями. B(x) — то, на что делят, а Q(x) — результат деления. Для проверки подпиши множители: их произведение должно дать исходный многочлен.

При делении на x − a иногда подставляют −a вместо a. Это происходит из-за знака минус в выражении x − a, но корень находят из уравнения x − a = 0, откуда x = a. Например, для x − 3 нужно подставить 3, а не −3. Перед вычислением проверь, какое число обращает делитель в ноль.

Нельзя заключать, что x − a — множитель, только потому, что хочется разложить многочлен. Такой вывод допустим после проверки A(a) = 0; иначе остаток может быть ненулевым. Ошибку часто допускают, пропуская подстановку или вычисляя значение с неверным знаком. Пересчитай A(a): нулевое значение означает делимость, а ненулевое — нет.

Связь с другими темами

Для работы с делимостью нужны умения складывать и умножать многочлены, приводить подобные слагаемые и раскладывать выражения на множители. Эти действия помогают получить предполагаемое произведение и проверить его раскрытием скобок. Делимость, в свою очередь, упрощает разложение многочленов на множители: найденный линейный множитель можно вынести, а затем исследовать частное. Такое разложение пригодится при решении уравнений, когда произведение приравнивают к нулю.

Что запомнить

• A(x) делится на B(x), если A(x) = B(x)Q(x) для некоторого многочлена Q(x).
• При делении нацело остаток равен нулю.
• При делении с остатком степень остатка меньше степени делителя.
• Остаток от деления A(x) на x − a равен A(a).
• Если A(a) = 0, то x − a является множителем A(x).
• Проверить результат деления можно умножением делителя на частное и прибавлением остатка.