"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Уравнение с одним неизвестным — равенство, которое становится верным или неверным в зависимости от выбранного значения переменной. Найти такое значение — значит решить уравнение; иногда решений несколько, а иногда нет ни одного. Чтобы решать уравнения, преобразуют их, сохраняя множество корней: выполняют одинаковые действия с обеими частями, раскрывают скобки и собирают подобные слагаемые. Найденный ответ проверяют подстановкой в исходное равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство с неизвестным, истинность которого зависит от значения неизвестного. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Подставляя разные числа вместо x, можно получить как верное, так и неверное равенство. Понятие уравнения помогает записывать задачи о неизвестном числе и находить его.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, если при подстановке числа в обеих частях получаются одинаковые результаты, это число является корнем. У одного уравнения может быть один корень, несколько корней или ни одного. Поэтому найденное значение нужно оценивать именно по исходному равенству.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Если записать только одно подходящее число, но не выяснить, существуют ли другие, задача ещё не решена полностью. В ответе указывают полный набор корней либо сообщают, что их нет. Это определение подсказывает, чего нужно добиться в конце решения.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Например, у них могут быть разные записи, но подходить к ним должны одни и те же значения неизвестного. Равносильные преобразования позволяют менять вид уравнения, не теряя и не добавляя корни. Именно на этом основан привычный способ решения.
Корень проверяют подстановкой, потому что по определению он должен сделать исходное равенство верным. Для проверки вместо неизвестного ставят найденное число и отдельно вычисляют левую и правую части. Если результаты равны, значение подходит; если нет — в решении есть ошибка или число не является корнем. Подстановка проверяет не только вычисления, но и то, что ответ относится именно к исходному уравнению.
Если прибавить одно и то же выражение к левой и правой частям, равенство сохранится: к двум одинаковым величинам добавляется одно и то же. Поэтому прежние корни останутся корнями, а новые не появятся. Вычитание одного и того же выражения работает по той же причине, ведь вычитание можно представить как прибавление противоположного. Так получают более удобную запись, не меняя решений.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство: если величины были одинаковыми, после умножения они останутся одинаковыми. Деление действует так же, но делитель обязательно должен быть ненулевым. На ноль делить нельзя, а умножение на ноль может превратить любое равенство в 0 = 0 и скрыть различие между его частями. Поэтому действие с обеими частями допустимо как равносильное только при выполнении условия о ненулевом множителе или делителе.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, упрощают обе части уравнения. Раскрытие скобок заменяет произведение суммы на сумму произведений, а подобные слагаемые объединяют, потому что содержат одну и ту же неизвестную в одинаковой степени. Эти действия делают структуру уравнения заметнее: становится легче увидеть, какие слагаемые можно сгруппировать. При этом правила вычислений нужно применять ко всем членам выражения, а не только к удобным.
После упрощения найденное значение проверяют в исходном уравнении, а не только в последней строке решения. Преобразования могли быть выполнены с ошибкой, а некоторые действия, например деление на выражение с неизвестным, требуют особой осторожности. Подстановка в исходную запись показывает, получилось ли действительно верное равенство. Так проверка связывает ответ с тем уравнением, которое требовалось решить.
В таблице собраны действия, которые позволяют менять уравнение и сохранять его корни. Условие о ненулевом числе особенно важно для умножения и деления. Перед преобразованием полезно проверить, что оно разрешено, а после решения — подставить ответ в исходную запись.
| Преобразование | Условие | Что происходит с корнями |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же выражения к обеим частям | Выражение определено в обеих частях уравнения | Множество корней сохраняется |
| Вычитание одного и того же выражения из обеих частей | Выражение определено в обеих частях уравнения | Множество корней сохраняется |
| Умножение обеих частей на одно и то же число | Число не равно нулю | Множество корней сохраняется |
| Деление обеих частей на одно и то же число | Число не равно нулю | Множество корней сохраняется |
Решим уравнение 3x − 5 = 10. Сначала нужно оставить слагаемое с неизвестным в одной части, а число — в другой. Для этого прибавим 5 к обеим частям: такое действие сохраняет корни и убирает −5 слева. Затем разделим обе части на коэффициент при x.
Левая часть после подстановки равна правой, значит, найденное число подходит. Ответ: x = 5. Проверка особенно полезна, если при преобразованиях можно было ошибиться со знаком.
Решим 2(x − 3) + 4 = 3x − 5. Сначала раскроем скобки и соберём числа, чтобы увидеть простое уравнение. Затем оставим слагаемые с x в одной части, а числа — в другой. Каждый перенос можно понимать как прибавление противоположного слагаемого к обеим частям.
Обе части исходного равенства при x = 3 равны 4, поэтому преобразования дали подходящий корень. Ответ: x = 3. При раскрытии скобок множитель 2 относится и к x, и к числу −3.
В уравнении 5(x + 2) − 3x = 2(x + 5) + 4 после упрощения неизвестное может исчезнуть. Поэтому важно не останавливаться на переносе слагаемых, а сравнить оставшиеся числа. Если они равны, уравнение превращается в тождество; если различаются, решений не будет. Проверим это последовательными преобразованиями.
Получилось неверное равенство, поэтому ни одно значение x не может быть корнем. Ответ: корней нет. Если бы после сокращения неизвестного осталось верное равенство, исходное уравнение было бы верно при любом допустимом значении x.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Это происходит, когда правило запоминают как механический переход через знак равенства, а не как действие с обеими частями. Например, чтобы убрать +5 слева, вычитают 5 из обеих частей, поэтому справа появляется −5. Проверяйте перенос, записывая промежуточную строку с одинаковым действием слева и справа.
Другая ошибка — умножать или делить обе части на ноль. Ноль не может быть делителем, а умножение на него уничтожает информацию об исходных частях равенства. Такой шаг способен изменить множество корней, поэтому он не является равносильным преобразованием. Перед действием проверьте число: оно должно быть ненулевым.
При раскрытии скобок внешний множитель порой применяют только к первому слагаемому внутри скобок. Например, 2(x − 3) ошибочно превращают в 2x − 3 вместо 2x − 6. Ошибка возникает, если воспринимать скобки как украшение, а не как сумму, на которую умножают множитель. Для самопроверки умножьте внешний множитель на каждое слагаемое в скобках.
Иногда найденное значение сразу записывают в ответ, не проверяя его в исходном уравнении. Причина может быть в спешке или в уверенности, что преобразования точно выполнены без ошибок. Но неверный знак или вычисление меняет результат и проходит незамеченным. Подставьте ответ в исходную запись и убедитесь, что значения обеих частей совпали.
Для решения уравнений нужны навыки действий с целыми и дробными числами, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Если эти действия ещё не стали уверенными, можно сначала отдельно потренировать вычисления и упрощение выражений. Тогда в уравнении легче сосредоточиться на сохранении корней, а не на арифметике. Проверка подстановкой поможет обнаружить ошибку в любом из этих шагов.
Уравнения помогают переводить текстовые задачи в математическую запись: неизвестную величину обозначают буквой, а условие выражают равенством. Те же преобразования понадобятся при изучении линейных уравнений и систем уравнений. В системе нужно учитывать сразу несколько равенств, но идея сохранения решений остаётся важной. Поэтому умение решать простые уравнения становится основой для следующих тем.
Чем корень уравнения отличается от решения уравнения?
Корень — это отдельное значение неизвестного, которое превращает уравнение в верное равенство. Решить уравнение — значит найти все такие значения или доказать, что их нет.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
На самом деле слагаемое не «перепрыгивает» через знак равенства: к обеим частям прибавляют противоположное ему слагаемое. Поэтому, например, +5 в одной части превращается в −5 в другой.
Можно ли делить обе части уравнения на неизвестное?
Нельзя делать это без проверки: неизвестное может оказаться равным нулю, а деление на ноль невозможно. Делить на выражение с неизвестным допустимо только в случае, если заранее доказано, что оно не равно нулю.
Что делать, если после упрощения неизвестное исчезло?
Сравните получившиеся числа. Если вышло верное равенство, например 4 = 4, исходное уравнение верно при любом допустимом значении неизвестного; если неверное, например 4 = 7, корней нет.
Зачем подставлять найденный корень в исходное уравнение?
Подстановка показывает, действительно ли значение превращает исходное равенство в верное. Она помогает заметить ошибку в преобразованиях или вычислениях, а проверка именно в исходном уравнении не зависит от вида промежуточных записей.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным
