§ 3. Уравнения с двумя неизвестными

Определения и обозначения

Уравнение с двумя неизвестными — равенство, в котором есть две переменные, например x и y. В уравнении с одной переменной нужно подобрать значение только для неё, а здесь значения должны подходить сразу обеим переменным. Например, в равенстве 2x + y = 4 связаны x и y. Такое уравнение описывает, какие значения переменных могут встречаться вместе.

Решение уравнения с двумя неизвестными — пара значений переменных, при подстановке которых равенство становится верным. Пару записывают в порядке (x; y): сначала значение x, затем значение y. Например, запись (1; 2) означает x = 1 и y = 2, а не наоборот. Порядок нужен, потому что переменные в уравнении могут играть разные роли.

Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где a, b и c — числа, а x и y — неизвестные. Буквы a и b называют коэффициентами при переменных. Например, 2x + y = 4 — линейное уравнение. Этот вид удобен тем, что одну переменную часто можно выразить через другую.

График уравнения с двумя неизвестными — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. У точки с координатами (x; y) горизонтальная координата равна x, а вертикальная — y. Значит, график позволяет увидеть все решения сразу. Для линейного уравнения таким графиком будет прямая.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли пара решением, первое число подставляют вместо x, а второе — вместо y. Затем вычисляют левую часть уравнения и сравнивают её с правой частью. Равенство должно получиться верным, иначе пара не подходит. Такая проверка нужна потому, что сами по себе два числа ещё не гарантируют выполнение уравнения.

Уравнение с двумя неизвестными обычно имеет не одно, а много решений. Если известно значение x, уравнение может подсказать, каким должно быть y; при другом x часто получится другое y. Например, в 2x + y = 4 при x = 0 получается y = 4, а при x = 1 — y = 2. Поэтому решения удобно рассматривать как пары, связанные одним условием.

Для уравнения ax + by = c можно выбрать значение одной переменной и вычислить другую. Например, если b ≠ 0, перенесём ax в правую часть: by = c − ax, а затем разделим обе части на b и получим y = (c − ax) / b. Так можно составлять разные решения, выбирая удобные значения x. Если коэффициент при переменной, которую нужно найти, равен нулю, делить на него нельзя: тогда следует выразить другую переменную или отдельно разобраться с равенством.

Координаты каждой пары-решения можно отметить на координатной плоскости как точку (x; y). Если точка лежит на графике уравнения, её координаты удовлетворяют этому уравнению; если нет — не удовлетворяют. Отмечая все решения, получают множество точек, которое и называют графиком. Так алгебраическое условие превращается в наглядное изображение.

Рассмотрим линейное уравнение 2x + y = 4. Выразим y: y = 4 − 2x, а затем подставим несколько значений x: при x = 0 получим точку (0; 4), при x = 1 — (1; 2), при x = 2 — (2; 0). Эти точки лежат на одной прямой, поэтому через них можно провести прямую и продолжить её в обе стороны. Любая точка на этой прямой соответствует решению, а любая точка-решение лежит на ней.

Уравнение с двумя неизвестными и его решения

Сначала воспользуйтесь строками о проверке и записи пары, чтобы убедиться, что понимаете порядок координат. Затем по строкам о нахождении решений составьте несколько пар и отметьте их на координатной плоскости. Так таблица показывает путь от уравнения к его графику.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + 2y = 8. Нужно учесть порядок: значение x равно 2, а значение y равно 1. Проверим равенство подстановкой, не делая вывод только по виду чисел. Решение:

1. Подставим x = 2 и y = 1: 3 · 2 + 2 · 1 = 6 + 2.
2. Вычислим левую часть: 6 + 2 = 8.
3. Сравним с правой частью уравнения: она тоже равна 8, значит, равенство верно.

Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения. При проверке мы подставляли числа именно в том порядке, в каком они записаны в паре.

Задача 2. Найти три решения уравнения x + 2y = 6. Удобно сначала выбрать значения y, чтобы при вычислении x получить целые числа. Из уравнения выражаем x: x = 6 − 2y. Разные значения y дают разные пары, поэтому проверим три удобных выбора. Решение:

1. Пусть y = 0. Тогда x = 6 − 2 · 0 = 6, получаем пару (6; 0).
2. Пусть y = 1. Тогда x = 6 − 2 · 1 = 4, получаем пару (4; 1).
3. Пусть y = 2. Тогда x = 6 − 2 · 2 = 2, получаем пару (2; 2).

Можно проверить каждую пару: 6 + 2 · 0 = 6, 4 + 2 · 1 = 6, 2 + 2 · 2 = 6. Во всех случаях левая часть совпала с правой. Ответ: (6; 0), (4; 1), (2; 2).

Задача 3. Построить график уравнения 2x + y = 4. Чтобы получить координаты точек, сначала выразим y через x: y = 4 − 2x. Выберем несколько значений x и вычислим соответствующие значения y. По найденным парам построим точки, а затем проведём через них прямую. Решение:

1. При x = 0 получаем y = 4 − 2 · 0 = 4, значит, первая точка — (0; 4).
2. При x = 1 получаем y = 4 − 2 · 1 = 2, значит, вторая точка — (1; 2).
3. При x = 2 получаем y = 4 − 2 · 2 = 0, значит, третья точка — (2; 0).
4. Отметим эти точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Третья точка помогает проверить, что построение согласуется с уравнением.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 4), (1; 2) и (2; 0). Каждая точка этой прямой имеет координаты, удовлетворяющие уравнению.

Типичные ошибки

Переставляют числа в паре. В записи (a; b) первое число относится к x, второе — к y, но при подстановке их иногда меняют местами. Это может случиться, если не сверять пару с обозначениями переменных. Проверьте себя: подпишите рядом x = a и y = b, а потом подставляйте.

Объявляют решением любую пару. Числа могут выглядеть подходящими, но не удовлетворять равенству. Причина ошибки — ответ записывают без проверки. Подставьте пару в исходное уравнение и убедитесь, что левая и правая части равны.

Ожидают единственное решение. Для двух неизвестных часто можно выбрать разные значения одной переменной и получить подходящие значения другой. Ошибка появляется из-за привычки решать уравнения с одной переменной. Проверьте, можно ли подставить ещё одно значение и получить новую пару, выполняющую равенство.

Строят график по одной точке или неверно соединяют точки. Одна точка не задаёт единственную прямую, поэтому по ней нельзя достоверно построить график. Иногда точки отмечают с перепутанными координатами или проводят через них кривую. Найдите несколько решений, откладывайте сначала x, затем y и проверьте, что точки линейного уравнения лежат на одной прямой.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями понадобятся навыки подстановки чисел в выражения и вычислений, а для графика — умение отмечать точки на координатной плоскости. Пары решений станут основой для изучения систем уравнений: в системе нужно найти пару, подходящую сразу к нескольким уравнениям. Графики линейных уравнений пригодятся при изучении линейной функции. По расположению прямых можно будет судить о том, сколько решений имеет система.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя неизвестными — упорядоченная пара чисел.
• Пару проверяют подстановкой обоих чисел в уравнение.
• Уравнение с двумя неизвестными может иметь множество решений.
• Каждому решению соответствует точка на координатной плоскости.
• График линейного уравнения с двумя неизвестными — прямая.
• Чтобы построить такую прямую, достаточно найти координаты нескольких её точек.