§ 1. Непересекающиеся прямые

Определения и обозначения

Параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Иначе говоря, у них нет ни одной общей точки. Условие об одной плоскости обязательно: в пространстве можно встретить непересекающиеся прямые, которые не являются параллельными.

Совпадающие прямые не считают параллельными. Они проходят через одни и те же точки, поэтому общих точек у них бесконечно много. Это отличает их от параллельных прямых, у которых общих точек нет.

Параллельность прямых a и b записывают так: a ∥ b. Читают: «прямая a параллельна прямой b». Пересекающимися называют прямые, имеющие ровно одну общую точку; так их определение противопоставляется параллельным, у которых общих точек нет.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. Например, две линии на листе бумаги, продолженные в обе стороны, встретятся в одной точке или не встретятся вовсе. Условие об одной плоскости позволяет сделать такое заключение: в пространстве непересекающиеся прямые могут быть расположены в разных плоскостях и не иметь общего направления.

На чертеже пересекающиеся прямые обычно изображают так, чтобы было видно место их встречи, а параллельные — как две линии, которые идут рядом. Но рисунок может быть неточным или показывать только часть прямых. Поэтому вид чертежа подсказывает предположение, а вывод о параллельности нужно подтверждать определением или известным свойством.

Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Например, если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c. Причина в том, что все три прямые имеют одно направление: если бы a и c пересекались, то через точку пересечения проходили бы две разные прямые, параллельные b, а такого быть не может.

Через точку M, которая не лежит на прямой a, проходит ровно одна прямая, параллельная a. Утверждение состоит из двух частей: такую прямую можно провести, и второй отличающейся от неё параллельной прямой через M нет. Единственность нужна, чтобы однозначно строить параллельную прямую и доказывать, что две линии совпали или пересеклись.

Определение помогает проверить, что именно требуется доказать: прямые должны быть в одной плоскости и не иметь общих точек. Свойство о параллельности одной и той же прямой позволяет связать между собой несколько линий и сделать вывод о расположении пары. А утверждение о единственности помогает рассуждать о прямых, проходящих через заданную точку, не полагаясь только на рисунок.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выясни, сколько у прямых общих точек. Затем проверь, не являются ли они одной и той же прямой. Если прямые разные, лежат в одной плоскости и общих точек не имеют, они параллельны.

Разбор задач

Задача 1

На чертеже прямые a и b не пересекаются. Какое условие нужно проверить, чтобы заключить, что они параллельны? Отсутствие пересечения на рисунке ещё не доказывает нужный вывод: изображённый отрезок может быть лишь частью прямой. Нужно свериться с определением.

1. Проверяем, что a и b лежат в одной плоскости.
2. Устанавливаем, что это разные прямые и у них нет общих точек.
3. По определению заключаем, что они параллельны.

Ответ: нужно убедиться, что прямые лежат в одной плоскости, и применить определение параллельных прямых.

Задача 2

Прямые a и b параллельны, а прямые b и c параллельны. Определить взаимное расположение a и c. Здесь не нужно заново проверять каждый чертёж: условия связывают обе прямые с одной и той же прямой b. Используем свойство параллельности.

1. Записываем данные: a ∥ b и b ∥ c.
2. Применяем свойство: если две прямые параллельны одной прямой, то они параллельны друг другу.
3. Получаем a ∥ c.

Ответ: прямые a и c параллельны.

Задача 3

Дана прямая a и точка M вне неё. Построить прямую через M, параллельную a, и объяснить, почему такая прямая только одна. Для построения можно использовать линейку и угольник: приложить одну сторону угольника к a, линейку — к другой стороне, затем передвинуть угольник вдоль линейки до M. Сторона угольника, проходящая через M, задаст нужное направление.

1. Проводим через M прямую, параллельную a, с помощью линейки и угольника.
2. По утверждению о параллельной прямой такая прямая через точку вне a существует.
3. Если бы через M проходила ещё одна отличающаяся от неё параллельная a прямая, через эту точку проходили бы две параллельные a прямые. Это противоречит единственности.

Ответ: через M проводят ровно одну прямую, параллельную a.

Типичные ошибки

Ошибка: называть параллельными любые непересекающиеся прямые. Так рассуждают, когда забывают, что в пространстве линии могут лежать в разных плоскостях. Проверь себя: действительно ли обе прямые принадлежат одной плоскости? Если это не установлено, определения для вывода недостаточно.

Ошибка: считать совпадающие прямые параллельными. Их можно спутать, если на рисунке одна линия полностью закрывает другую. Проверь количество общих точек: у совпадающих их бесконечно много, а у параллельных — ни одной.

Ошибка: доказывать параллельность только видом рисунка. Чертёж может быть выполнен от руки, и кажущийся одинаковым наклон не подтверждает свойства прямых. Проверь, есть ли в условии нужные сведения или можно ли применить определение и теорему.

Ошибка: решить, что прямые не пересекаются, потому что они не встретились на изображённом участке. Продолжения прямых могут пересечься далеко за границами рисунка. Проверь, следует ли отсутствие общей точки из условия или доказательства, а не только из того, что видно на чертеже.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться с параллельными прямыми, нужно знать, что такое точка, прямая, плоскость и общая точка геометрических фигур. Без этих понятий нельзя точно описать, лежат ли прямые в одной плоскости и пересекаются ли они. Позже параллельность понадобится при изучении углов, образованных секущей с прямыми: секущая — это прямая, пересекающая другие прямые. Эти знания помогут изучать признаки параллельности, то есть условия, по которым параллельность можно доказать.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Совпадающие прямые не считают параллельными.
• Параллельность прямых a и b обозначают a ∥ b.
• Если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c.
• Через точку вне данной прямой можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.