§ 2. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Их часто обозначают символом ∥, например a ∥ b. Определение нужно, чтобы отличать параллельность от простого впечатления на чертеже: линии могут выглядеть непересекающимися, но сам рисунок этого не доказывает.

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых; параллельными считают и отрезки на одной прямой. Это позволяет говорить о параллельности частей фигур, даже если перед нами не целые прямые. Например, стороны четырёхугольника могут быть параллельны, хотя изображены только отрезками.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. При таком пересечении появляются восемь углов, которые удобно сравнивать. Понятие секущей помогает описать взаимное расположение углов и сформулировать правила для параллельных прямых.

Углы, образованные секущей, объединяют в соответственные, накрест лежащие и односторонние пары. Соответственные занимают одинаковое положение у двух пересечений, накрест лежащие лежат между прямыми по разные стороны секущей, а односторонние — между прямыми по одну сторону секущей. Такое расположение важно: именно от него зависит, какие углы сравнивают при поиске или доказательстве параллельности.

Как это устроено

Представь две прямые, пересечённые третьей, — секущей. В каждой точке пересечения получаются четыре угла, всего их восемь. Для удобства сравнения их можно мысленно разделить на внутренние, лежащие между двумя прямыми, и внешние, лежащие снаружи. Тогда пары определяют не по величине, а по расположению.

Соответственные углы находятся у разных точек пересечения и занимают одинаковые места относительно прямых и секущей: например, оба сверху от своей прямой и справа от секущей. Накрест лежащие углы расположены внутри между прямыми, но по разные стороны секущей. Односторонние тоже находятся внутри, однако лежат по одну сторону секущей. Такое описание помогает не перепутать пары даже на необычно повёрнутом чертеже.

Если соответственные углы равны или накрест лежащие углы равны, то две прямые параллельны. Также прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180°. Это признаки параллельности: они идут от углов к выводу о прямых. Причина в том, что при пересечении прямых секущей углы связаны между собой; указанные условия возможны именно тогда, когда прямые не пересекаются.

Если прямые уже параллельны, действуют обратные правила: соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°. Это свойства параллельных прямых. Они нужны, чтобы находить неизвестные углы, используя известную параллельность. Например, если соответственный угол равен 68°, то второй такой угол тоже равен 68°.

Итак, в задаче важно понять, что дано и что требуется получить. Из параллельности переходят к равенству углов или сумме 180° и находят величины; это применение свойства. Если известны углы, проверяют нужное равенство или сумму и делают вывод о параллельности; это применение признака. Ещё одно основное утверждение темы — аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Слово «ровно» означает, что такой прямой не может быть ни ноль, ни две.

Угловые признаки и свойства параллельных прямых

В средней колонке указаны свойства: пользуйся ими, если параллельность уже установлена. Правая колонка содержит признаки, по которым её можно доказать. Перед применением таблицы проверь, что выбрана нужная пара углов относительно секущей.

Разбор задач

Две прямые пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй соответственный угол, если прямые параллельны.

1. Условие сообщает, что прямые параллельны, значит, можно применить свойство параллельных прямых.
2. Углы уже названы соответственными. Для такой пары при параллельных прямых величины равны.
3. Поэтому второй угол равен 68°.

Ответ: 68°.

При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 47°. Докажите, что прямые параллельны.

1. Сначала определяем, что сравниваются накрест лежащие углы: они расположены между прямыми по разные стороны секущей.
2. В условии сказано, что эти углы равны; их общая величина 47°.
3. Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности. Следовательно, данные прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны по признаку равенства накрест лежащих углов.

Односторонние углы равны 3x + 10° и 5x + 10°. Найдите x и докажите параллельность прямых.

1. Для односторонних углов признак требует, чтобы их сумма составляла 180°. Составляем уравнение: (3x + 10) + (5x + 10) = 180.
2. Складываем подобные слагаемые: 8x + 20 = 180. Вычитаем 20 и получаем 8x = 160.
3. Делим обе части на 8: x = 20. Проверяем: углы равны 70° и 110°, их сумма действительно 180°.
4. По признаку параллельности прямые параллельны, потому что сумма односторонних углов равна 180°.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Нельзя объявлять прямые параллельными только потому, что на рисунке они не пересекаются. Чертёж может быть неточным, а прямые могут пересечься за его пределами. Чтобы не ошибиться, найди условие или докажи параллельность с помощью признака.

Соответственные и накрест лежащие углы легко перепутать, если смотреть только на их величину. Ошибка возникает, когда не проверяют положение углов у двух пересечений. Перед решением отметь секущую и определи, находятся ли углы между прямыми и по одну или по разные стороны секущей.

Свойство параллельных прямых нельзя использовать, чтобы доказать сами параллельные прямые: это рассуждение по кругу. Такую путаницу допускают, когда не различают данное и то, что требуется установить. Проверь направление рассуждения: от параллельности к углам ведёт свойство, от углов к параллельности — признак.

Односторонние углы при параллельных прямых не обязательно равны. Их обязательное соотношение — сумма 180°, а равными они будут лишь в частном случае, когда оба равны 90°. Для проверки сложи величины углов, а не приравнивай их.

Связь с другими темами

Перед изучением параллельных прямых нужно знать виды углов при пересечении двух прямых, а также вертикальные и смежные углы. Свойства смежных углов помогают находить недостающие величины и проверять вычисления. Новые правила о секущей расширяют эти знания: они связывают углы, образованные уже двумя прямыми.

Тема пригодится при доказательстве геометрических утверждений и нахождении углов в треугольниках. Параллельные стороны часто встречаются в чертежах фигур, поэтому умение находить углы помогает решать задачи о них. Эти рассуждения также понадобятся при изучении признаков равенства и подобия фигур.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную ей прямую.
• При параллельных прямых соответственные углы равны.
• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
• При параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180°.
• Равенство соответственных или накрест лежащих углов служит признаком параллельности.
• Сумма односторонних углов 180° также служит признаком параллельности.