"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Треугольник имеет три внутренних угла, и их сумма всегда равна 180°. Это правило помогает находить неизвестный угол, если известны два других, а также решать задачи с внешними углами. Чтобы понять, откуда берётся правило, через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Свойства углов при параллельных прямых и на одной прямой дают нужное равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренний угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами. У треугольника три вершины, поэтому у него три внутренних угла. Они находятся внутри фигуры и обозначаются, например, буквами A, B и C или греческими буквами. Это обозначение помогает отличать углы друг от друга в чертеже и вычислениях.
Сумма углов треугольника — сумма величин всех трёх его внутренних углов. Если углы обозначены A, B и C, то их сумма записывается так: A + B + C. Такое выражение удобно, когда нужно связать известные углы с неизвестным и найти его величину. Для любого треугольника эта сумма равна 180°.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов; он образуется стороной треугольника и продолжением другой стороны. Например, если продолжить одну сторону за вершину, рядом с внутренним углом появится внешний. У вершины можно получить два внешних угла, но для решения задачи обычно рассматривают один из них. Он помогает находить внутренние углы, которые с ним не соседствуют.
Развёрнутый угол — угол величиной 180°. Его стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Если луч делит развёрнутый угол на два смежных угла, их величины в сумме дают 180°. Это свойство позволяет находить один из таких углов, если известен другой.
Пусть дан треугольник ABC, а противоположная вершине A сторона — BC. Через A проведём прямую, параллельную BC. Она нужна не для изменения самого треугольника, а чтобы перенести углы B и C к вершине A и сравнить их с углом A. Прямая пересекает стороны AB и AC в общей точке A, поэтому возникающие там углы можно сопоставить с углами исходной фигуры.
Стороны AB и AC пересекают две параллельные прямые, поэтому каждая из них является секущей. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: такие углы расположены между прямыми по разные стороны секущей. Значит, один угол у вершины A равен углу B, а другой — углу C. Это равенство позволяет заменить углы, находящиеся у разных вершин, равными им углами у A.
Три угла у точки A располагаются вдоль одной прямой: два появились при проведении параллельной прямой, а между ними находится угол A треугольника. Вместе они образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Так как крайние углы равны углам B и C, получаем A + B + C = 180°. Это и есть теорема о сумме внутренних углов любого треугольника.
Если известны два угла, например A и B, то неизвестный C находят из равенства A + B + C = 180°. Сначала складывают известные величины, затем вычитают эту сумму из 180°: C = 180° − (A + B). Ответ должен быть положительным, потому что внутренний угол треугольника больше 0°. Если после вычитания получается ноль или отрицательное число, значит, данные или вычисления нужно проверить.
Внешний угол и соседний с ним внутренний угол смежные, то есть образуют развёрнутый угол: их сумма равна 180°. Поэтому внешний угол можно найти как 180° минус смежный внутренний. Есть и другое соотношение: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Действительно, из общей суммы 180° вычитают внутренний угол, смежный с внешним, и оставшаяся величина равна сумме двух остальных внутренних углов.
| Ситуация | Соотношение углов | Что можно найти |
|---|---|---|
| Три внутренних угла одного треугольника | Сумма равна 180° | Один угол, если известны два других |
| Известны два внутренних угла | Третий = 180° − сумма известных углов | Третий внутренний угол |
| Внутренний и смежный с ним внешний углы | Их сумма равна 180° | Один из смежных углов |
| Внешний угол и два несмежных внутренних угла | Внешний угол равен сумме двух внутренних | Внешний или один из несмежных углов |
Сначала определи, какие именно углы даны: внутренние, внешний или смежная пара. Затем выбери подходящую строку и запиши соотношение до подстановки чисел. Если в задаче несколько неизвестных, используй сразу два соотношения и проверь, что сумма внутренних углов получилась 180°.
В треугольнике два угла равны 50° и 60°. Найдите третий угол. Так как известны два внутренних угла одного треугольника, для поиска оставшегося используем их общую сумму 180°. Сначала складываем известные величины, затем вычитаем результат из 180°.
Ответ: 70°.
Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите их величины. Отношение показывает, что углы состоят из 2, 3 и 4 одинаковых частей, но величина одной части пока неизвестна. Обозначим её через x и выразим через неё каждый угол, чтобы применить сумму 180°.
Ответ: 40°, 60° и 80°.
Внешний угол треугольника равен 125°, а один из несмежных с ним внутренних углов — 45°. Найдите остальные внутренние углы. Здесь важно не считать внешний угол внутренним: сначала по смежности найдём угол рядом с ним. Затем используем равенство внешнего угла сумме двух несмежных внутренних углов.
Ответ: остальные внутренние углы равны 55° и 80°.
Иногда складывают только два угла и называют результат суммой углов треугольника. Так происходит, когда забывают, что внутренних углов у треугольника три. Для проверки выпиши все три угла и сложи их: только полная сумма должна равняться 180°.
При нахождении третьего угла из 180° иногда вычитают лишь один известный угол. Причина — подстановка числа в формулу без проверки, какие величины уже известны. Запиши выражение 180° − (первый угол + второй угол), а затем проверь, что сумма всех трёх полученных углов равна 180°.
Внешний угол могут ошибочно включить в сумму трёх внутренних и получить неверное равенство. Внешний угол расположен снаружи треугольника, поэтому теорема о сумме внутренних углов напрямую к нему не применяется. Проверь, какие углы стоят в уравнении: в сумме 180° должны быть именно три внутренних угла.
Ещё одна ошибка — считать внешний угол равным смежному внутреннему. Равенство здесь неверно: углы смежные, значит, вместе образуют 180°, а не обязательно имеют одинаковую величину. Подставь найденные значения и проверь их сумму; если углы равны, каждый должен быть по 90°.
Для доказательства суммы углов нужно знать, что такое угол и треугольник, а также свойства смежных и накрест лежащих углов. Если эти понятия пока вызывают затруднение, полезно сначала повторить, как распознать такие пары углов и какие равенства для них выполняются. Теорема о сумме углов помогает находить неизвестные углы при изучении равных треугольников и решении геометрических задач. Её также используют в доказательствах, когда нужно установить связь между несколькими углами.
Почему сумма углов любого треугольника равна 180°?
Через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Два угла треугольника равны накрест лежащим углам при этой прямой, а вместе с третьим образуют развёрнутый угол величиной 180°.
Как найти третий угол, если известны два других?
Сложи величины двух известных углов и вычти полученную сумму из 180°. Например, если углы равны 50° и 60°, третий угол равен 180° − (50° + 60°) = 70°.
Может ли в треугольнике быть угол 180°?
Нет, каждый внутренний угол треугольника положителен, а сумма всех трёх равна 180°. Если один угол уже равен 180°, для двух остальных не останется величины, хотя они тоже должны быть положительными.
Как связаны внешний угол и смежный с ним внутренний угол?
Они образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Чтобы найти внешний угол, из 180° вычитают величину смежного внутреннего угла.
Чему равен внешний угол треугольника через два несмежных внутренних угла?
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые не смежны с ним. Это следует из того, что три внутренних угла в сумме дают 180°, а внешний и смежный с ним внутренний тоже составляют 180°.
§ 3. Сумма углов треугольника
